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1、随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性。,但在许多实际问题中，并不需要去全面考察随机变量的变化情况。 如大致了解全班同学的身高情况，并不需要精确研究全班同学的身高-随机变量X的分布 ，其实我们只要知道全班同学的平均身高、大家身高对平均身高的平均偏离程度就可以大致了解全班同学的身高情况。,平均身高和平均偏离程度就是X的两个数字特征。 用数字特征能更直接、更简洁、更清晰和更实用地反映出随机变量的本质。,第四章 随机变量的数字特征,数学期望 方差 协方差和相关系数,分赌本问题,1654年,职业赌客德梅累向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌客赌技相同，各出赌注50
2、法郎，每局中无平局。他们约定，谁先赢三局则得到全部100法郎的赌本。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。现问这100法郎如何分才算公平？,事实上，很容易设想出以下两种分法： （1）甲得100(1/2) 法郎，乙得100(1/2) 法郎； （2）甲得100(2/3) 法郎，乙得100(1/3) 法郎。,第一种分法考虑到甲、乙两人赌技相同，就平均分配，没有照顾到甲已经比乙多赢一局这一个现实，对甲显然是不公平的。,第二种分法不但照顾到了“甲乙赌技相同”这一前提，还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然更公平一些。但是，第二种分法还是没有考虑到如果继续比下去的话会出现什么情形，即没有照顾两人在现有
3、基础上对比赛结果的一种期待。,帕斯卡与另一位法国数学家费马在一系列通信中就这一问题展开了讨论，并得出正确的结论。,假如能继续比下去的话，至多再有两局必可结束。若接下来的第四局甲胜，则甲赢得所有赌注；若乙胜，还要再比第五局，当且仅当甲胜这一局时，甲赢得所有赌注。,以上四种局面中，前三种局面都是甲赢。因此，如果赌局继续，甲赢的概率为0.75，乙赢的概率为0.25。,甲的“期望”所得应为 0(1/4)+100(3/4)=75法郎； 乙的“期望”所得应为 0(3/4)+100(1/4)=25法郎。,从而,这种方法照顾到了已赌结果，又包括了再赌下去的一种“期望”，它自然比前两种方法都更为合理，使甲乙双方
4、都乐于接受。这就是“数学期望”这个名称的由来。,后来，帕斯卡和费马的通信引起了荷兰数学家惠更斯的兴趣，后者在1657年发表的论赌博中的计算是最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理）标志着概率论的诞生。,设赌局结束后甲赢得的赌本为X，乙赢得的赌本为Y，则X和Y的分布律为：,X的“期望”为0 +100 Y的“期望”为0 +100,“数学期望”本质上就是以概率值为权数对赢得赌本的加权平均 。,数学期望描述随机变量取值的平均特征,1 离散型随机变量的数学期望,解：,例1 甲乙两人打靶，所得分数分别记为 ，它们的分布律分别为下表，试评定他们
5、的成绩的好坏。,所以甲的成绩好,例2 某产品表面的疵点数服从参数 的泊松分布，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大于1个不多于4个为二等品，价值8元；疵点数超过4个为废品。求（1）产品的废品率。 （2）产品价值的平均值。,解：设X表示产品表面的疵点数，有,（1）产品的废品率为,所以产品价值的平均值为,（2）设Y表示产品的价值，有,（1）0-1分布的数学期望,（2）泊松分布的数学期望,（3）二项分布的数学期望,2 连续型随机变量的数学期望,其在某点 处取值的概率可表示为X落在小区间 的概率,此时概率分布为,数学期望为,定义2 设X f (x), 如果积分 绝对收敛，则定义 X的数
6、学期望为 记为EX或E（X）。,（1）均匀分布的数学期望,（2）指数分布的数学期望,（3）正态分布的数学期望,3 随机变量函数的数学期望,定理1 设X是一个随机变量，Y=g (X),且E(Y)存在，于是,解：,例 离散型随机变量X的分布律如下表，Y=2X+1，求Y的数学期望,解：,可用定理求解,例 随机变量 ，求,例 随机变量 ，求,解：,定理2 设（X，Y）是二维随机变量，Z=g (X,Y),且E(Z)存在，于是,例 设随机变量 的概率密度为,解：,求,4 数学期望的性质,1. c为常数 , E (c)=c ; 2. c为常数,E (c X)=c E(X); 3. E（X+Y）=EX+EY
7、4. 设X、Y相互独立，E(XY)=E(X) E(Y),注意：其逆命题不成立,例 机场快线载20名旅客自机场开出，旅客有10个站可下车。如到站无人下就不停车。设每位旅客在各站下车等可能，且每人是否下车相互独立。以 表示停车的次数，求,解：设 表示 站停车的次数，有,设 表示在第 站下车的人数，有,二项分布可以看做n个两点分布的和,二 方差,两个人的平均成绩相等，试评价甲乙的射击效果,但绝对值不好处理，我们可以用以下指标来刻画： ，,这个指标称为方差，它是衡量随机变量取值的波动程度（离散程度）的一个数字特征。,乙的成绩更稳定，每次成绩对平均成绩的偏离都很小，即平均偏离都很小。,用数学语言描述以上
8、现象：,很小,进一步，有,根号也不好处理,定义 设X是一个随机变量，若EX-E(X)2存在，则称它为X的方差，记为DX或D(X),或Var (X).,称 为随机变量的标准差,显然，方差是离差平方的数学期望,从方差的定义易见: （1）若 的取值比较集中，则方差较小； （2）若 的取值比较分散，则方差较大； （3）若方差 ，则随机变量 以概率1取常数值,可见,D(X)=E(X2)-E(X)2,证明:,变形： E(X2 )=D(X) +E(X)2,例 设随机变量X的数学期望 ，方差,记,试证:,变量标准化（单位化）的意义：,（2）标准化后的变量的取值不受数量级的影响，并且取值集中到0的附近,（1）标
9、准化后的变量的取值不受量纲的影响,证明:,四. 方差的性质 (1) D(c)=0 反之，若D（X）=0，则存在常数C，使 PX=C=1, 且C=E(X);,(2) D(cX)=c2D(X), c为常数；,证明:,3、若X、Y相互独立，则,注意：其逆命题不成立,证明:,推广：,若 相互独立，则,若X、Y相互独立，则,得证,而,（1）0-1分布的方差,（2）二项分布的方差,（3）泊松分布的方差,（4）均匀分布的方差,（5）指数分布的方差,（6）正态分布的方差,若X、Y相互独立，则,显然 在一定程度上反映了X和Y之间的关系,三协方差与相关系数,定义 设(X,Y)为二维随机向量，若EXE(X)YE(Y
10、)存在，则称其为随机变量X和Y的协方差，记为COV(X,Y)，即 COV(X,Y)=EXE(X)YE(Y),显然有：,COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y),特别地，当X、Y相互独立时，有,COV(X,Y)=0,注意：其逆命题不成立,一般通过以下公式求协方差：,例 设(X,Y)的联合分布是 求COV(X,Y).,解:X,Y的边缘分布是,随机向量函数XY的分布是,EX=0.7,EY=0.5,EXY=0.4,COV(X,Y)=EXY-EXEY=0.4-0.35=0.05,例 设连续型随机变量(X,Y)的密度函数为： 求COV(X,Y).,解：随机变量(X,Y)的边缘密度函数为：,求E(X)
11、的更简单的解法：,令Z=X+0，即把X看成(X,Y)的函数Z=g(X,Y)：,由定理可得：,协方差性质 (1) COV(X,X)=D(X); (2) COV(X, Y)=COV(Y, X); (3) COV(aX, bY)=abCOV(X, Y), 其中a, b为 常数； (4) COV(X,c)=0， c为任意常数； (5) COV(X+Y，Z)=COV(X, Z)+COV(Y, Z); （6）当X，Y相互独立时，则 cov(X,Y)=0,(7) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2COV(X, Y),D(X Y)=D(X)+D(Y),当X，Y相互独立时，则,注意到协方差会受到量纲的影响,在
12、一定程度上反映了X和Y之间的关系,例：我们的身高用 表示，体重用 表示,身高的单位采用米，体重的单位采用千克，则身高和体重的协方差为,若身高的单位采用厘米，体重的单位采用克，则身高和体重的协方差为,于是我们想到可以先对变量进行标准化，去掉量纲的影响，再求协方差,反映了X和Y之间的统计关系，且不受量纲的影响,相关系数,定义 设（ X，Y）为二维随机变量，DX0,DY0，称,为随机变量X与Y的相关系数，也称为标准协方差.当 时，称X与Y不相关,例 设随机向量(X,Y)的联合分布是 求X,Y的相关系数.,解:,EX=0.7,EY=0.6,EXY=0.4 DX=0.21,DY=0.24,例 设(X,Y
13、)服从区域D:0x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数,解,相关系数的性质：,注意： （1）相关系数为零的两个随机变量不一定是独立的； （2）X与Y不相关，是指没有线性关系，不排除它们有其他形式的关系； （3）相关一定不独立，独立一定不相关。,若 ，称X与Y是相关的，特别地，当 时，称X与Y为正相关，当 时，称X与Y为负相关。 的值越接近于1， X与Y的线性相关程度越高， 的值越接近于0， X与Y的线性相关程度越弱。,学习P92例3、例4和例5,矩,K阶原点矩 =E(Xk) K阶中心矩 =EX-E(X)k K阶绝对原点矩 E(|X|k) K阶绝对中心矩 E|X-E(X)|k K+l阶混合原点矩 E(Xk Yl) K+l阶混合中心矩 EXE(X)kYE(Y)l,以上称为总体矩,定义 设 是一个n维随机向量，各 分量的方差都存在，则由 为元素组 成的n阶方阵，称为该随机向量的协方差矩阵， 记为V，即,协方差矩阵,其中,定义 设 是一个n维随机向量，其 任何两个分量 与 的相关系数 都存在 则以 为元素组成的n阶方阵，称为该随机 向量的相关系数矩阵，记为R，即,两个结论 1 二维正态分布的边缘分布均为一维正态分布； 2 若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关, 即=0,小结,
