《马尔可夫预测》课件

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1、马尔可夫预测方法是根据俄国数学家马尔可夫 (Markov) 的随机过程理论提出来的，它主要是通过研究系统对象的状态转移概率来进行预测的。,7.7 马尔可夫预测,一变量x，能随机地取数据（但不能准确地预言它取何值），而对于每一个数值或某一个范围内的值有一定的概率，那么称x为随机变量。 假定随机变量的可能值xi发生概率为Pi 即P(x = xi) = Pi 对于xi的所有n个可能值，有离散型随机变量分布列： Pi = 1 对于连续型随机变量，有 P(x)dx = 1,一 随机变量,1、状态：系统在某时刻出现的某种结果。 常用Ei表示（i=1，2，N）。 2、状态变量Xt=i：表示系统在时刻t处于

2、Ei 。 3、状态转移：系统由一种状态转移为另一种状态。常用Ei Ej表示。,二、状态和状态转移,状态举例： 例1：人民生活水平可分为三种水平状态：温 饱、小康、富裕。 例2：企业经营状况可分为：盈利、不盈不亏、 亏损。 例3：商品销售状况可分为：畅销、平销、滞 销。 状态转移举例： 例4：营业情况由盈利亏损。 例5：商品由畅销滞销。,1、无后效性：如果系统在状态转移过程中，系统将来的状态只与现在的状态有关，而与过去的状态无关。这种特性称为无后效性或马尔柯夫性。 例：本月库存只与本月调入调出、损耗及上月底库存有关。 2、遍历性：又称稳定性，若转移概率矩阵不变，系统状态经过许多步转移之后将逐渐达

3、到稳定的状态，且与系统的初始状态无关。 例：市场最终占有率。,三、无后效性和遍历性,池塘里有三张荷叶，我们将它们编号为1，2，3，有一只青蛙随机地在荷叶上跳来跳去，假设在初始时刻t0，它在第一张荷叶上，在t1时刻，它有可能跳到第二张或者第三张荷叶上，也有可能在原地不动。,无后效性举例：,四、马尔柯夫链,如果一个系统具有 有限个状态，状态转移的时间是离散（如月、季、年），且这种转移具有无后效性，则称此系统构成一个马尔柯夫链。,五、状态转移概率和转移概率矩阵,设系统有N个状态Ei（i=1，2，N），以状态变量xt=i表示在时刻t处于Ei（i=1，2，N），如果系统在时刻t处于Ei而在时刻t+1转移

4、到Ej的概率只与Ei有关而与t以前处的状态无关，则此概率可表示为： Pij=P（EiEj）=P（ xt+1 =jxt =i） 并称为一步转移概率。,0 Pij 1 Pij =1,所有Pij构成的矩阵为：,称为一步转移概率矩阵。,称为k步转移概率矩阵。 P（k）与P的关系： 可证明： P（k）=Pk P（k）= P（k-1）P=Pk-1P,例：设一步转移矩阵为：,设系统有N个状态Ei（i=1，2，N），用Pi表示系统在k时期处于状态Ei（i=1，2，N）的概率，所有概率 所构成的向量，称为状态概率向量 。其中： 0Pi（k）1 （i=1，2，N） Pi（k）=1 当k=0时， 反映系统在初始时状

5、态概率的分布情况，称为起始状态概率分布。,六、预测模型,由S（k+1）=S（k）P 可得递推关系： 这就是马尔柯夫链的预测模型。,马尔柯夫预测法的步骤： 1、确定系统的状态Ei和S（0）； 2、确定P； 3、进行预测：S（k）=S（0）Pk,例1：某地有甲、乙、丙三家食品厂生产同一食品，有1000个客户，假定无新用户加入也无老用户退出，只有用户转移，转移表如下：试求其状态转移概率,解：状态转移概率为,例2 设味精市场的销售记录共有 6 年 24 个季度的数据，见表。求味精销售转移概率矩阵。,用“1”表示畅销 用“2”表示滞销,共24个季度数据，其中有15个季度畅销，9个季度滞销，现分别统计出:

6、连续畅销、由畅转滞、由滞转畅和连续滞销的次数。 以 p11 表示连续畅销的可能性，以频率代替概率，得： 分子 7 是表中连续出现畅销的次数，分母 15 是表中出现 畅销的 次数，因为第24季度是畅销，无后续记录，故减1。,2个状态: “1” 畅销 “2” 滞销,以 p12 表示由畅销转入滞销的可能性： 分子 7 是表中由畅销转入滞销的次数。 以 p21 表示由滞销转入畅销的可能性： 分子 7 是表中由滞销转入畅销的次数，分母数 9 是表中出 现滞销的次数。,2个状态: “1” 畅销 “2” 滞销,以 p22 表示连续滞销的可能性： 分子 2 是表中连续出现滞销的次数。 综上所述，得销售状态转移

7、概率矩阵为：,例：某经济系统有三种状态 （如畅销、一般、滞销），系统地转移情况见下表，试求系统的二步状态转移概率矩阵。 解：首先是写出一步状态转移,二步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵通过公式 计算求出:,由一步转移概率矩阵求出，由公式 计算得：,例：某商店在最近20个月的商品销售量统计记录如下：,解：1、划分状态：按盈利状况为标准 （1） 销售量60千件 属于滞销 （2） 60千件销售量100千件 属于一般 （3） 销售量100千件 属于畅销,试预测第 21 期商品销售状态。,2、计算初始概率 Pi 为使问题更为直观，绘制销售量散点图如下，并画出 状态分界线。 由图可算出处于： 滞销状态的有

8、： M1= 7 一般状态的有： M2= 5 畅销状态的有： M3= 8,3、计算初始转移概率矩阵 计算状态转移概率时，最后一个数据不参加计算，因为它究 竟转到哪个状态尚不清楚。 M11= 3， M12= 4， M13= 0， M21= 1， M22= 1， M23= 3， M31= 2， M32= 0， M33= 5 从而： P11= 3/7， P12= 4/7， P13= 0/7， P21= 1/5， P22= 1/5， P23= 3/5， P31= 2/7， P32= 0/7， P33= 5/7,滞销状态： M1= 7 一般状态： M2= 5 畅销状态： M3= 8-1,4、预测第21月的

9、销售情况 由于第20月的销售情况属于畅销状态，而经由一次转移到达三种状态的概率是： P31= 2/7， P32= 0/7， P33= 5/7 P33 P32 P31 因此，第21月超过100千件的可能性最大。 即预测第21月的销售状态是“畅销”。,二、人力资源预测,例：某高校教师状态分为5类：助教、讲师、副教授、教授、流失及退休。目前状态(550人)： 根据历史资料: 试分析三年后教师结构以及 三年内为保持编制不变应进多少研究生充实教师队伍？,一年后人员分布： 要保持550人的总编制，流失76人，故第一年应进 76 位新教师。 第二年： 补充74人。 第三年： 补充72人。 在第三年年底，人员

10、结构为：,三、预测:策略与市场占有率,例： A、B、C三公司的产品市场占有率分别为50%，30%，20%。由于C公司改善了销售与服务，销售额逐期稳定上升，而A公司却下降。通过市场调查发现三个公司间的顾客流动情况如表所示。其中产品销售周期是季度。 问题：按目前趋势发展，A公司产品销售或客户转移的影响将严重到何种程度？更全面的，三个公司产品的占有率将如何变化？,未来各期的市场占有率：,C促销政策：C的市场份额不断增大，是否可持续下去？,稳态市场占有率问题：,稳态市场占有率即为平衡状态下的市场占有率，亦 即马氏链的平稳分布。,可解得：,最佳经营策略：,因于A厂不利，A厂随后制定两套方案：,最佳经营策

11、略,A厂制定的两套方案：,甲方案 保留策略，拉住老顾客。,新的平衡状态下、三公司的市场占有率分别为31.6，26.3，42.1，公司的市场占有率从17.65提高到31.6。,乙方案 争取策略，挖客户。,乙方案：在新的平衡状态下，、三家公司的市场占有率分别为33.3，22.2，44.5。,例：市场上有三种品牌的汽水，6月份市场占有率分别是30%、40%、30%。各品牌消费变化情况如下表：试求（1）8月份的市场占有率；（2）预测长期占有率,6月份各品牌汽水消费变化表,解：初始市场占有率为：S(0)=(0.3 0.4 0.3) 状态转移概率矩阵为,(1)7月份市场占有率为,8月份市场占有率为,(2)

12、 顾客的流动经过一段时间后会达到稳定的平衡状态，设稳态矩阵为U,则U*P=U 如果,即经过长时期流动后，甲、乙、丙三品牌的市场占有率 分别是 15.6%、43.4%、41.0%,例3 、设备维修方面的应用,企业中的机器设备，粗略地划分，可以分为良好和损坏两种状态，在运转和使用过程中，良好的可能会转变为损坏，而损坏的也可能经过维修转变为良好。一般可用下图表示这种状态转移。状态转移概率矩阵可写为,式中 P11为某时刻机器处于良好，到下一时刻仍转变为良好状态的概率；,P12为某时刻机器处于良好，到下一时刻转变为故障状态的概率；,P21为某时刻处于故障到下一时刻转为良好概率；,P22为某时刻处于故障到

13、下一时刻仍为故障状态的概率；,例 设某车间里的机器出故障的概率为0.2，机器能修复良好的概率为0.85，试求稳定状态下，机器处于良好状态和故障状态的概率各为多少？,解: 由题意可知，机器不出故障的概率为 10.2= 0.8；机器修不好的概率为10.85=0.15。故得状态转移概率矩阵为,于是有,解此联立方程组得：,即在稳定状态下机器不出故障的概率为0.81，而出故障的概率为0.19。,43,四、应用举例,已知2005年为大旱年，要求预测2006年的气象情势和该地区的长期气象趋势。2005年的状态为初始状态，即,例 某地区根据历史长期统计资料统计出其旱、涝的年际转移状态概率，其状态转移概率矩阵如

14、下,44,四、应用举例,马尔可夫预测法,1. 预测2006年的气象趋势，也就是求S(1)。,45,四、应用举例,马尔可夫预测法,，即旱的可能性为0.74。,因此，根据计算结果，在2006年应做好抗旱准备。,，即涝的可能性为0.10。,2.长期趋势预测求极限转移概率。,46,四、应用举例,马尔可夫预测法,所以有,联立求解上述方程组，得：,47,四、应用举例,马尔可夫预测法,根据上述计算结果，可以看出该地区长远的气候应是旱的情势。因此，应努力选育各种作物的抗旱品种，在作物布局上应考虑种植耐旱作物，在水利和农田基本建设上应着重考虑各种灌溉设施。,即旱的可能性为64.56%。,即涝的可能性为17.9 %。,1. 预测A、B、C三个厂家生产的某种抗病毒药在未来的市场占有情况，设购买该药的总共1000家对象（购买力相当的医院、药店等）。1季度购买A、B、C三药厂的各有400家、300家、300家。 根据发放信息调查，顾客购买的流动情况表如下： 顾客购买流动情况表 请用马尔可夫预测法预测第4季度（三步转移）市场分布情况及长期的市场占有率。,练习题,3.某产品每月的市场状态有畅销和滞销两种，三年来有如下记录，见下表。“1”代表畅销，“2”代表滞销，试求市场状态转移的一步和二步转移概率矩阵。,