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1、椭圆的几何性质一、概念及性质1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a,b,c的关系”；2.椭圆的通经：3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式：4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：.5.直线与椭圆的位置关系：6.椭圆的中点弦问题：【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据椭圆的性质求参数的值或范围；(2)由性质写椭圆的标准方程；(3)求离心率的值或范围题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围.【典例1】求适合下
2、列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点；（2）长轴长等于20，离心率等于.【典例2】求椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.【典例3】已知A，P，Q为椭圆C：上三点，若直线PQ过原点，且直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（ ）A. B. C. D.【练习】(1)已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A(3，0) B(4，0) C(10，0) D(5，0)（2）椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21 C或21 D或21(3)设椭圆C：1(ab0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1
3、B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_【典例4】已知F1，F2为椭圆1(ab0)的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 练习：如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分与P1,P2,P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则= 【典例5】若 “过椭圆1(ab0)的左，右焦点F1，F2的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在椭圆的内部”，求离心率的取值范围【典例6】已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_【方法归纳】：1.在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时
4、，总体原则是“先定位，再定量”.2.求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化”，一定要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，充分利用平面几何的性质及有关重要结论来探寻参数a,b,c之间的关系，以减少运算量3.在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化4. 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式(或不等式)，利用a2b2c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围；有时也可利用正弦、余弦的有界性求解离心率的范围5.在探寻a,b,c的关系时，若能充分考虑平面几何的
5、性质，则可使问题简化，如典例5.【本节练习】1已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是()A1 B1或1 C1 D1或12.设e是椭圆1的离心率，且e(，1)，则实数k的取值范围是()A(0，3) B(3，) C(0，3)(，) D(0，2)3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1，B2，焦点为F1，F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则这个椭圆的离心率e等于()A B C D4.如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为_5.已知椭圆C：的左、右焦点为，离心率为，过F2的直线l交C于A,B两点，若AF1B的周长为，则
6、C的方程为（ ）A. B. C. D.6.已知F1、F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1PF2，则F1PF2的面积为_7.设是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为300的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A. B. C. D. 8.过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.9.已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 10.已知为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当，POAB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为 11已知方程1
7、表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A(，2) B(1，) C(1，2) D(，1)12矩形ABCD中，|AB|4，|BC|3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为()A2 B2 C4 D413一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()A1 B1 C1 D114.如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点恰好是椭圆1(ab0)的右焦点F，且这两条曲线交点的连线过点F，则该椭圆的离心率为_15.已知抛物线与椭圆在第一象限相交于A点，F为抛物线的焦点，ABy轴于B点，当BAF=300
8、时，a= 16. 设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|PF1|的最大值为_17椭圆1上有两个动点P、Q，E(3，0)，EPEQ，则的最小值为()A6 B3 C9 D12618椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，则这个椭圆方程为_19若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是_20.已知圆锥曲线mx24y24m的离心率e为方程2x25x20的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为()A4 B3 C2 D114. 椭圆的左右焦点分别为,焦距为，若直线与椭圆的一个交
9、点满足,则该椭圆的离心率等于_设F1(c, 0), F2(c, 0)是椭圆(ab0)的两个焦点，P是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且PF1F2=5PF2F1，则该椭圆的离心率为 （A） （B） （C） （D）若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 21.已知椭圆1(ab0)的右焦点为F1，左焦点为F2，若椭圆上存在一点P，满足线段PF1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF1的中点，则该椭圆的离心率为()A B C D22. 已知为椭圆上三点，若直线过原点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率等于( ) A
10、B C D题型二：直线与椭圆的位置关系的判定.【典例1】当m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？【典例2】已知椭圆，直线，椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？反馈：（2012福建）如图，椭圆E：的左右焦点分别为F1、F2，离心率，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为8.（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4交于Q，试探究：在坐标平面内，是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.【方法归纳】：直线与椭圆位置关系判断的步骤：联立直线方程与椭圆方程；消元得出关于x(
11、或y)的一元二次方程；当0时，直线与椭圆相交；当0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离注：对比直线与圆的位置关系的判断，它们之间有何联系与区别？题型三：直线与椭圆相交（及中点弦）问题该问题属高考中对圆锥曲线考查的热点和重点问题，其主要方法是数形结合、判别式、根与系数的关系、整体代换.【典例1】已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A,B两点，求弦AB的长及的周长、面积.【典例2】已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左，右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直
12、线l的方程【典例3】已知一直线与椭圆相交于A,B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1)，求直线AB的方程.变式：过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 【典例4】（2015新课标文）已知椭圆 的离心率为,点在C上.（I）求C的方程；（II）直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.【典例5】已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（）求的方程；（）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.【典例6】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴
13、上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：与椭圆C相交于A，B两点（A，B均不在左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.【方法归纳】：（1）解决直线与椭圆相交问题的原则有两个：一是数形结合；二是一条主线：“斜率、方程组、判别式、根与系数的关系”.利用根与系数的关系整体代换，以减少运算量.（2）如果题设中没有对直线的斜率的限定，一定要讨论斜率是否存在，以免漏解；这里又有两个问题需要注意：若已知直线过y轴上的定点P(0,b)，可将直线设为斜截式，即纵截距式，即y=kx+b，但要讨论斜率是否存在；若已知直线过x轴上的定点P(a,0)，可以直接将直线方程设为横截距式，即x=my+a，这样可避免讨论斜率是否存在，但此时求弦长时，需将下面弦长公式中的k用替换.（3）直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|(k为直线斜率)【本节练习】1.(2014高考安徽卷)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_
