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1、1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 32x+b+c经过 A（0，4） 、B（ x1，0） 、 C（ 2，0）三点，且x2- 1=5（1）求 b、 c的值；（4 分）（2）在抛物线上求一点 D，使得四边形 BDCE 是以 BC 为对 角线的菱形；（3 分）（3）在抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形？若存在，求出点 P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由 （3 分）解： （08 广东茂名 25 题解析）解：（1）解法一：抛物线 y= 32x+b+c经过点 A（0，4） ， c=4 1 分又由题意可知， x1、 2是方程 3x2+
2、b+c=0 的两个根， x1+ 2=3b， 12= c=6 2 分由已知得（ -x） =25又（ 2- 1） 2=（ + 1） 24 x12=9b24 49b224=25 解得 = 313 分当 b=4时，抛物线与 x轴的交点在 x轴的正半轴上，不合题意，舍去 = 31 4 分解法二： x1、 2是方程 3x2+b+c=0 的两个根，（第 25 题图）AxyB C O 即方程 2x3 b+12=0 的两个根 = 4962， 2 分 x2 1=b2=5，解得 = 343 分（以下与解法一相同 ） （2）四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点 D 必在抛物线的对称轴上，
3、5 分又 y= 32x144= 32（ x+7） 2+ 656 分抛物线的顶点（7， 65）即为所求的点 D 7 分（3）四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形，点 B 的坐标为（6，0） ，根据菱形的性质，点 P 必是直线 x=-3 与抛物线 y=2x- 314-4 的交点， 8 分当 =3 时， y=2（3） 214（3）4=4， 在抛物线上存在一点 P（3，4） ，使得四边形 BPOH 为菱形 9 分四边形 BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形 BPOH 为正方形，点 P 的坐标只能是（3，3） ，但这一点不在抛物线上 10 分2如图，已知二次函数 yx2bxc 的图象经过 A
4、(2，1)，B(0,7)两点(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)当 x 为何值时，y0?(3)在 x 轴上方作平行于 x 轴的直线 l，与抛物线交于 C、D 两点(点 C 在对称轴的左侧)，过点 C、D 作 x 轴的垂线，垂足分别为 F、E.当矩形 CDEF 为正方形时，求 C 点的坐标22.解：(1)把 A(2，1)，B(0,7)两点的坐标代入yx2bxc，得Error!，解得Error!.所以，该抛物线的解析式为 yx22x7，又因为 yx22x7(x1)28，所以对称轴为直线 x1.(2)当函数值 y0 时，x22x70 的解为 x12 ，2结合图象，容易知道 12 0.2 2(3)
5、当矩形 CDEF 为正方形时，设 C 点的坐标为(m，n)，则 nm22m7，即CFm22m7.因为 C、D 两点的纵坐标相等，所以 C、D 两点关于对称轴 x1 对称，设点 D 的横坐标为 p，则 1mp1，所以 p2m，所以 CD(2m)m22m.因为 CDCF，所以 22mm22m7，整理，得 m24m50，解得 m1 或 5.因为点 C 在对称轴的左侧，所以 m 只能取1.当 m1 时，nm22m7(1)22(1)74.于是，点 C 的坐标为(1,4)3 如图 11，已知抛物线243yx与 x 轴交于两点 A、B，其顶点为 C (1)对于任意实数 m，点 M（m，-2）是否在该抛物线上
6、?请说明理由；(2)求证:ABC 是等腰直角三角形；(3)已知点 D 在 x 轴上，那么在抛物线上是否存在点 P，使得以 B、C、D、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图 11 22解：（1）假如点 M（m，-2）在该抛物线上，则-2=m2-4m+3,m2-4m+5=0,由于=（-4）2-415=-40，此方程无实数解，所以点 M（m，-2）不会在该抛物线上；（2）当 y=0 时，x2-4x+3=0,x1=1,x2=3,由于点 A 在点 B 左侧，A(1,0),B(3,0)y= x2-4x+3=(x-2)2-1, 顶点 C 的坐标是（2，-1） ，由
7、勾股定理得，AC= ,BC= ,AB=2，AC2+BC2=AB2, ABC 是等腰直角三角形；(3)存在这样的点 P.根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点 P 与点 C 的线段应被 x 轴平分，点 P 的纵坐标是 1，点 P 在抛物线 y= x2-4x+3 上，当 y=1 时，即 x2-4x+3=1，解得 x1=2- 2,x2=2+ ,点 P 的坐标是（2- 2，1）或（2+ 2，1）.4 如图，在平面直角坐标系 xoy中，已知抛物线经过点(0，4)，B(1，0)，C（5，0） ，抛物线对称轴 l与 轴相交于点 M（1）求抛物线的解析式和对称轴； （3 分）（2）设点 P 为抛物
8、线（ 5）上的一点，若以 A、O、M、P 为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点 P 的坐标； （2 分）（3）连接 AC探索：在直线 AC 下方的抛物线上是否存在一点 N，使NAC 的面积最大？若存在，请你求出点 N 的坐标；若不存在，请你说明理由 （3 分）25、解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 )5(1xay，1 分把点 A（0，4）代入上式得： 54， y16)3(452)(15 2xxx，2分抛物线的对称轴是：3x3 分（2）由已知，可求得 P（6，4） 5 分第 25 题图提示：由题意可知以 A、O、M、P 为顶点的四边形有两条边 AO=4、OM=3
9、，又知点 P 的坐标中 5x，所以，MP2,AP2；因此以 1、2、3、4 为边或以 2、3、4、5 为边都不符合题意，所以四条边的长只能是 3、4、5、6 的一种情况，在 RtAOM 中，22A，因为抛物线对称轴过点 M，所以在抛物线 x的图象上有关于点 A 的对称点与 M 的距离为 5，即PM=5，此时点 P 横坐标为 6，即 AP=6；故以 A、O、M、P 为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数 3、4、5、6 成立，即P（6，4） 5 分法一：在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使NAC 面积最大设 N 点的横坐标为 t，此时点 N)452,(tt（ )50t，过点N
10、作 NG y轴交 AC 于 G；由点 A（0，4）和点 C（5，0）可求出直线AC 的解析式为： 5x；把 t代入得：4ty，则 G)45,(t，此时：NG=t-（452tt） ， =tt5204 分 25)(1025)04(21 ttttOCNGSAC当 25t时，CAN 面积的最大值为 ，由t，得：3452tty，N（ 25， -3） 8 分5.如图 9，抛物线 y(x1)2k 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C (0，3)（1）求抛物线的对称轴及 k 的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点 P，使得 PAPC 的值最小，求此时点 P 的坐标；（3）点 M 是抛物线上一动点，
11、且在第三象限 当 M 点运动到何处时，AMB 的面积最大？求出AMB 的最大面积及此时点 M 的坐标； 当 M 点运动到何处时，四边形 AMCB 的面积最大？求出四边形 AMCB 的最大面积及此时点M 的坐标 xyOCA BPxyOCA BMxyOCA B【答案】 （1）抛物线的对称轴为直线 x1，把 C (0，3)代入 y(x1)2k 得31k k4（2）连结 AC，交对称轴于点 Py(x1)24 令 y0 可得(x1)240x11 x23A (3，0) B (1，0)设直线 AC 的关系式为：ym xb把 A (3，0)，C (0，3)代入 ym xb 得，3mb0 b3 m1线 AC 的
12、关系式为 yx3当 x1 时，y132P (1，2) 当 M 点运动到何处时，四边形 AMCB 的面积最大？求出四边形 AMCB 的最大面积及此时点M 的坐标（3） 设 M 的坐标为（x, (x1)24）SAMB ABym 44(x1)212 1282(x1)2当 x1 时，S 最大，最大值为 S8M 的坐标为(1，4) 过 M 作 x 轴的垂线交于点 E，连接 OM，S 四边形 AMCBSAMOSCMOSCBO AB|ym| CO|xm| OCBO12 12 126 (x1)2 3(x) 3132 12 12 x2 x6 （x23x9） （x ）232 92 32 32 32 818当 x 时，S 最大，最大值为32 818
