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1、33 二阶系统的时域分析,（一）二阶系统的数学模型 在工程实际中，三阶或三阶以以上的系统，常可以近似或降阶为二阶系统处理。,图3-8是典型二阶系统的结构图，它的闭环传递函数为,由上式可看出，z 和wn是决定 二阶系统动态特性的两个非常重 要参数，其中z 称为阻尼比，wn 称为无阻尼自然振荡频率.,图3-8 二阶系统,(3.11),例如右图中R-电路，其传递函数为 式中，无阻尼自然振荡频率 阻尼比,由式(3.11)描述的系统特征方程为 (3.12) 这是一个二阶的代数方程，故有两个特征方程根，分别为 (3.13) 显然，阻尼比不同，特征根就不同。,1.当0 1时，此时系统特征方程具有一对负实部的
2、共轭复根。系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为欠阻尼状态。(如图a),2.当=1时，特征方程具有两个相等的负实根，称为临界阻尼状态。（如图b）,3.当1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。（如图c）,下面，分别研究过阻尼、临界阻尼和欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应。,4.当=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。（如图d）,1. 0z 1，称为欠阻尼情况 按式(3.11)，系统传递函数可写为 GB(s)= (3.17) 它有一对共轭复数根 (3.18) 式中 称为有阻尼振荡频率。,（二）二阶系统的阶跃响应,在初始条件为零，输入信号为单位
3、阶跃信号r(t)=1(t)时， 系统输出的拉氏变换为 (3.19) 对式(3.19)求拉氏反变换，则得系统的单位阶跃响应c(t)： (3.20),它是一衰减的振荡过程，如图3-11所示，其振荡频率就是有阻尼振荡频率wd，而其幅值则按指数曲线（响应曲线的包络线）衰减，两者均由参数z和wn决定。 (a)根分布 (b)单位阶跃响应 图3-11 欠阻尼情况(0z 1),系统的误差则为 (3.21) 当t时，稳态误差e ()。 若z =，称为无阻尼情况，系统的特征根为一对共轭虚根，即 (3.22) 此时单位阶跃响应为 (3.23) 它是一等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼自然振荡频率wn 。当系统有一定
4、阻尼时，wd总是小于wn 。,s1,2= jwn,2. z =，称为临界阻尼情况 此时系统有两个相等的实数特征根： s1= s 2= -wn (3.24) 系统输出的拉氏变换为 (3.25) 取C(s)的拉氏反变换，求得临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为 (3.26),(a)根分布 (b)单位阶跃响应 图3-12 临界阻尼情况(z 1),响应曲线如图3-12所示，它既无超调，也无振荡，是一个单 调的响应过程。,3. z ，称为过阻尼情况 当阻尼比z 时，系统有两个不相等的实数根： (3.27) 对于单位阶跃输入，C(s)为 (3.28) 将此式进行拉氏反变换，从而求得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应
5、为 (3.29),图3-13表示过阻尼二阶系统的根的分布和响应曲线。显然响应曲线无超调，而且过程拖得比z =时来得长。,(a)根分布 (b)单位阶跃响应 图3-13 过阻尼情况(z 1),根据以上分析，可得不同z值下的二阶系统单位阶跃响应 曲线族,如图3-14所示。由图可见，在一定z值下,欠阻尼系统 比临界阻尼系统更快地达到稳态值，所以一般系统大多设计 成欠阻尼系统。,图3-14 二阶系统单位阶跃响应,（三）二阶系统的动态性能指标 通常，工程实际中往往习惯把二阶系统调整为欠阻尼过程，因为此时系统的响应较快，且平稳性也较好。 对于单位阶跃输入作用下的欠阻尼系统，有： 1. 上升时间tr 按式(3
6、.20)，令c(tr)=1，就可求得 由于 ，所以,因此 (3.35) 式中 (3.36) 由式(3.35)可见，要使系统反应快，必须减小tr。因此当z一定，wn必须加大；若wn为固定值，则z越小，tr也越小。 2. 峰值时间tp 按式(3.20)，对c(t)求一阶导数，并令其为零，可得到,到达第一个峰值时 wd tp = p 所以 (3.37) 上式表明，峰值时间tp与有阻尼振荡频率wd成反比。当wn一定, z越小，tp也越小。,3. 最大超调量sp 以t= tp代入式(3.20)，可得到最大百分比超调量 (3.38) 由上式可见，最大百分比超调量完全由z决定，z越小，超调量越大。当z =时
7、，sp %= 100%，当z =时，sp % =。sp与z的关系曲线见图3-16。,图3-16 sp与z的关系,4. 调节时间ts 根据定义可以求出调节时间ts，如图3-17所示。图中T=1/zwn ，为c(t)包络曲线的时间常数，在z =0.69(或0.77)，ts有最小值，以后ts随z的增大而近乎线性地上升。图3-17中曲线的不连续性是由于在z虚线附近稍微变化会引起ts突变造成的，如图3-18所示。 ts也可由式(3.21)的包络线近似求得，即令e(t)的幅值 或0.02 (3.39),图3-17 ts与z 的关系 图3-18 z稍微突变引起的ts突变,当z 0.8时，则 (按到达稳态值的95%105%计) 或 (按到达稳态值的98%102%计) 由此可见, z wn大，ts就小，当wn一定，则ts与z成反比，这与tp，tr与z的关系正好相反。 根据以上分析，如何选取z和wn来满足系统设计要求，总结几点如下： (1) 当wn一定，要减小tr和tp，必须减少z值，要减少ts则应增大zwn值，而且z值有一定范围，不能过大。 (2) 增大wn ，能使tr，tp和ts都减少。 (3) 最大超调量sp只由z决定, z越小，sp越大。所以，一般根据sp 的要求选择z值，在实际系统中，z值一般在0.50.8之间.,三计算举例,
