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1、2.2.1 椭圆的标准方程,三维目标 1知识与技能 理解椭圆定义，掌握椭圆的标准方程，会求与椭圆有关的轨迹问题。 2过程与方法 通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析、探索问题的能力，熟练掌握解决解析几何问题的方法坐标法。 3情感态度与价值观 通过椭圆定义和标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生在研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答，体会运动变化，对立统一的思想。,重难点： 重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式。 难点：椭圆标准方程的建立和推导。,注意： 1对于椭圆定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上的点的几何性质，可以对比圆的定义来
2、理解。要注意到定义中对“常数”的限定的常数要大于|F1F2|.这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段； 当常数小于|F1F2|时无轨迹”。这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质。,2求椭圆的方程， 首先要建立直角坐标系，由于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，为了使方程简单，必须注意坐标系的选择怎样选择坐标系，要根据具体情况来确定在一般情况下，应注意要使已知点的坐标和直线(或曲线)的方程尽可能简单，在求椭圆的标准方程时，选择x轴经过两个定点F1、F2，并且使坐标原点与线段F1F2的中点重合，这样，两个定点的坐标比较
3、简单，便于推导方程。,在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c0)，椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a0)，这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出现分数形式，以便使导出的椭圆的方程形式简单。令a2c2b2是为了使方程的形式整齐而便于记忆。,3椭圆的两种标准方程中，总是ab0, 即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大焦点就在相应的哪个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就大。 a、b、c始终满足c2a2b2，如果焦点在x轴上， 焦点坐标是(c,0)，(c,0)；如果焦点在y轴上，焦点坐标是(0，c)，(0，c)。,4求椭圆的标准方程时，要首先进行“定位”，即确定焦点的位置；其次是进行
4、定“量”，即求a、b的大小，a、b、c满足的关系有：a2b2c2；ab0；ac0。 5牵涉到椭圆上一点坐标问题，常考虑此点到两焦点的距离之和为2a，来确定标准方程中的a2。,知识梳理： 1平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 。这两个定点F1、F2叫做椭圆的 ，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的 。 2在椭圆定义中，条件2a|F1F2|不应忽视，若2a|F1F2|，则这样的点不存在；若2a|F1F2|，则动点的轨迹是 。,椭圆,焦点,焦距,线段,3椭圆的标准方程,例1 在椭圆9x225y2225上求点P，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍。 分
5、析 由P(x，y)到椭圆焦点的距离建立两个关于x，y的方程，可以求出x，y的值。,例2 已知圆C：(x1)2y225及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程。,解析 如图所示，M是AQ的垂直平分线与CQ的交点，连接MA，则|MQ|MA|， |MC|MA|MC|MQ|CQ|5， 且|AC|2， 动点M的轨迹是椭圆，且其焦点为C，A，,已知F1、F2是两点，|F1F2|8，动点M满足|MF1|MF2|10，则点M的轨迹是_。 动点M满足|MF1|MF2|8，则点M的轨迹是_。 答案 以F1、F2为焦点的椭圆 线段F1F2,说明 1.点在椭圆上这个条件的转化常有两
6、种方程：一是点的坐标满足椭圆的方程；二是点满足椭圆定义，若点P在椭圆上，则有|PF1|PF2|2a。 2平面内的点满足椭圆的定义，可得点P的轨迹是椭圆，进而求得椭圆的方程。,分析 根据题意，先判断椭圆的焦点位置，再设出椭圆的标准方程，从而确定a、b的值。,说明根据已知条件，判定焦点的位置，设出椭圆的方程是解决此题的关键。,分析 根据椭圆方程的特征求解。,2当椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上时，对应的方程才是标准方程，同一椭圆在不同坐标系下其方程是不同的。,答案 B 解析 00,25k0且25k9k， a225k，b29k， c225k(9k)16， c4. 两椭圆有相等的焦距，选B。,分析
7、 只需求出|PF1|PF2|的值即可,例6 (1)命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|PB|2a(a0，常数)；(2)命题乙：P点轨迹是椭圆则命题甲是命题乙的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分且必要条件 D既不充分又不必要条件 分析 由椭圆定义直接作出判断。,解析 若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|PB|2a(a0，常数)。 所以甲是乙的必要条件。 反过来，若|PA|PB|2a(a0，常数)，是不能推出P点轨迹是椭圆的。 这是因为仅当2a|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a|AB|时，P点无轨迹，所以甲不是乙的充分条件。 综上所
8、述，甲是乙的必要不充分条件。 答案 B,说明 在用椭圆第一定义解题时，一定注意到条件：常数2a|F1F2|2c。,若一个动点P(x，y)到两个定点A(1,0)，A(1,0)的距离和为定值m，试求P点的轨迹方程。 解析 |PA|PA|m，|AA|2， (1)当m2时，P点的轨迹就是线段AA。 其方程为y0(1x1)。 (2)当m2时，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A、A为焦点的椭圆。 2c2,2am，,在ABC中，BC24，AC、AB边上的中线长之和等于39，求ABC的重心的轨迹方程。 解析 如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。,例7 已知ABC中，A，B，
9、C所对的边分别为a、b、c，且acb成等差数列，|AB|2，求顶点C的轨迹方程。,辨析 上述解答中没有注意题设中的条件acb，同时也忽略了隐含条件，即点C不能在x轴上，从而导致了变量x范围的扩大，使轨迹不满足“完备性”求轨迹方程时“纯粹性”与“完备性”要同时具备，缺一不可，这就要求我们应结合图形，认真观察动点在各种可能位置的情形，以防疏漏或轨迹不满足纯粹性,正解 接上面有3x24y212，又ab，即|BC|AC|， 点C只能在y轴的左边，即x0。 又由于ABC的三个顶点不能共线，即点C不能在x轴上，故x2。 所求C点的轨迹方程为3x24y212(2x0)。 说明 (1)求轨迹方程与求轨迹是有区别的求轨迹，不但要求出轨迹方程，还要指明轨迹是什么图形。 (2)求出轨迹方程后，注意考查曲线的完备性和纯粹性，以防“疏漏”和“不纯”。,一个概念；,二个方程；,三个意识：求美意识， 求简意识， 猜想的意识。,小结,二个方法：,
