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1、第二讲：参数方程,曲线的参数方程,一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？,即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？,如图，建立平面直角坐标系。,因此,不易直接建立x,y所满足的关系式。,x表示物资的水平位移量，y表示物资距地面的高度，,由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，,物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：,（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；,（2）沿oy反方向作自由落体运动。,在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？,t时
2、刻，水平位移为x=100t，离地面高度y，即：,y=500-gt2/2，,物资落地时，应有y=0，,得x10.10m；,即500-gt2/2=0，解得，t10.10s，,因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。,参数方程的概念：,一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。,并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上，,参数是联系变数x, y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变
3、数，也可以是没有明显实际意义的变数。,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。,例1: 已知曲线C的参数方程是 （为参数） (1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系； (2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。,解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所以M1在曲线上,把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到,这个方程无解，所以点M2不在曲线C上,(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以,解得t=2, a=9 所以，a=9.,练习：一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空
4、气阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m）,x=100t=1000,t=10,y=gt2/2=10102/2=500m.,B,A(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(25/16, 0),D,A(2，7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1，0),(1)由题意可知: 1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；,代入第二个方程得: y=(x-1)2/4,4 动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹参数方程.,解：设动点M (x,y) 运动时间为t
5、，依题意，得,A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线,D,B,（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.,参数方程求法:,（1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为;,（2）选取适当的参数;,（3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式;,圆的参数方程,M(x, y),圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，,怎样刻画运动中点的位置呢？,那么=t. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有,如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是M(x, y)，,即,这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程,参数 t 有物
6、理意义(质点作匀速圆周运动的时刻),考虑到=t，也可以取为参数，于是有,圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.,其中参数的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度,一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，,另外，要注明参数及参数的取值范围。,解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1,参数方程为,(为参数),例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。,练习：,例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。,解：
7、设点M的坐标是(x, y),则点P的坐标是(2cos,2sin).,由中点坐标公式可得,因此，点M的轨迹的参数方程是,解：由已知圆的参数方程为,练习,A,A36 B6 C26 D25,D,A,.,5 已知点P是圆 上一个动点,定点A(12, 0)， 点M在线段PA上，且2|PM|=|MA|，当点P在圆上运动 时，求点M的轨迹,解：设点M的坐标是(x, y),则点P的坐标是(4cos,4sin).,2|PM|=|MA|, 由题设,(x-12, y)=,因此，点M的轨迹的参数方程是,例4 (1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动,求点Q(m+n, 2mn)的轨迹方程;,(2)方程x2+y2-2
8、(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若该方程表示一个圆, 求m的取值范围和圆心的轨迹方程.,已知P(x, y)圆C：x2+y26x4y+12=0上的点。,(1)求 的最小值与最大值,(2)求xy的最大值与最小值,例5 最值问题,例6 参数法求轨迹,已知点A(2, 0),P是x2+y2=1上任一点, 的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹.,AQ:QP=2:1,参数方程和普通方程的互化,把它化为我们熟悉的普通方程，有 cos=x-3, sin=y; 于是(x-3)2+y2=1， 轨迹是什么就很清楚了,在例1中，由参数方程,直接判断点M的轨迹是什么并不方便，,一般地, 可以通过消去参数
9、而从参数方程得到普通方程；,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.,把参数方程化为普通方程：,例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？,解: (1)由,得,代入,得到,这是以（1，1）为端点的一条射线；,所以,把,得到,(1),(2),(1) (x-2)2+y2=9,(2) y=1- 2x2（- 1x1）,(3) x2- y=2（x2或x- 2）,练习、将下列参数方程化为普通方程：,步骤：（1）消参； （2）求定义域。,练习 将下列参数方程化为普通方程,B,例2 求参数方程,表示
10、（ ）,（A）双曲线的一支, 这支过点（1, 1/2）;,（B）抛物线的一部分, 这部分过（1, 1/2）;,（C）双曲线的一支, 这支过点（1, 1/2);,（D）抛物线的一部分, 这部分过（1, 1/2).,参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：,1.代入法：,利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数,2.三角法：,利用三角恒等式消去参数,3.整体消元法：,根据参数方程本身的结构特征, 整体上消去,化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。,小 结,普通方程化
11、为参数方程：,普通方程化为参数方程需要引入参数：,如：直线 l 的普通方程是 2x-y+2=0，可以化为参数方程:,一般地, 如果知道变量x, y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的关系y=g(t)，那么:,就是曲线的参数方程。,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致,为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？,在y=x2中，xR, y0，,因而与 y=x2不等价；,练习:,曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.,在A、B、C中，x, y的范围都发生了变化，,而在D中， x, y范围与y=x2中x, y的范围相同，,代入y=x2后满足该方程，,从而D是曲线y=x2的一种参数方程.,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.,解：,练习 把下列普通方程化为参数方程：,练习 把下列参数方程化为普通方程,(3),(t是参数),练习 P是双曲线 (t是参数)上任一点，F1, F2是该焦点：求F1F2的重心G的轨迹的普通方程。,
