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1、2017 年苏州市中小学教师专业素养竞赛模拟试卷 高中数学参考答案 一、选择题 1-5 BACDC 6-10 BDABD 11-15 DCABB 二、填空题 16.函数( )yf x在区间 , a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有( )( )0f af b 17.( )f xx等（答案不惟一） 18. 2 00 xxyyr 19. 1 3 20. 5 21 49 21.1k 22.7.5米 23.23 24. 4 3 25. 12 33 a或 3 4 a 26.看必修四课本 27.（1）证明：连接，设，连接 是三棱柱，侧棱底面.且 是正方形，是中点， 又为中点 又平面，平面 平面 （2）
2、在平面中过点作的垂线，交于.由于 底面面，且为两平面交线，面. 中，所以，且. 在中， 由于，所以 由等积法可得. 1 ACECAAC 11 DE ABCCBA 1111 AA ABC3 1 AAAC CCAA 11 E 1 AC DABED 1 BC EDCDA1 1 BCCDA1 / 1 BCCDA1 ABCDACACH ABC 11 ACC AACDH 11 ACC A ABC 22 1( 3)2AB 30BAC1AD ADC 1 sin30 2 HDAD 1 3 2 AC C S 11 11 1 31 33 2 24 D AC CAC C VDH S 111 1 4 CADCD AC
3、C VV 28.解（1）若 q1，则an的各项均为 a，此时 amk，ank，alk显然成等差数列 若 q1，由 Sm，Sn，Sl成等差数列可得 SmSl2Sn， 即 (1) 1 m a q q (1) 1 l a q q 2 (1) 1 n a q q ，整理得 qmql2qn. 所以 amkalkaqk 1(qmql)2aqnk12a nk.即所以 amk，ank，alk成等差数列 （2）由 2 nSn可得12 nan 因为数列 klmlmm aaa ,是等比数列，所以 2 lmklmm aaa ， 所以 2 )2()2(laklaa mmm ， 化简整理得laka mm 22，所以 m
4、a k l 2 2 要使得对于任意给定的正整数m，都存在正整数l，使得数列 klmlmm aaa ,为等比数 列，由12 mam是正奇数可知， 2 2k 必为正整数， 不妨设)( 2 2 Ntt k ，则22 tk)( Nt， 所以正整数k的取值集合为 Nttkk, 22| 29.（1）由题意知 2 2 c e a ，22c ，所以 2,1ab，因此 椭圆E的方程为 2 2 1 2 x y. （2）设 1122 ,A x yB xy，联立方程 2 2 1 1, 2 3 , 2 x y yk x 得 22 11 424 310kxk x ，由题意知0 ，且 1 1212 2 2 1 1 2 31
5、 , 212 21 k xxx x kk ， 所以 22 112 112 2 1 11 8 12 21 kk ABkxx k . 由题意可知圆M的半径r为 22 11 2 1 11 82 2 321 kk r k 由题设知 12 2 4 k k ，所以 2 1 2 4 k k ，由此直线OC的方程为 1 2 4 yx k . 联立方程 2 2 1 1, 2 2 , 4 x y yx k 得 2 221 22 11 81 , 1414 k xy kk ，因此 2 221 2 1 1 8 14 k OCxy k . 由题意可知 1 sin 2 1 SOTr OCrOC r ，而 2 1 2 1 2
6、2 11 2 1 18 14 1182 2 321 k OCk r kk k 2 1 22 11 123 2 4 141 k kk ，令 2 1 12tk ，则 1 1,0,1t t ， 因此 22 2 33131 1 22211 21 119 2 24 OCt r tt tt t ， 当且仅当1 1 2t ，即2t 时等号成立，此时 1 2 2 k ， 所以 1 sin 22 SOT ，因此 26 SOT ，所以 SOT最大值为 3 . 综上所述：SOT的最大值为 3 ，取得最大值时直线l的斜率为 1 2 2 k . 30.解： （1）由 32 ( )1f xxaxbx，得 2 22 ( )
7、323() 33 aa fxxaxbxb. 当 3 a x 时，( )f x有极小值 2 3 a b.因为( )f x的极值点是( )f x的零点. 所以 33 ()10 32793 aaaab f ，又0a ，故 2 23 9 a b a . 因为( )f x有极值，故( )=0f x有实根，从而 2 3 1 (27a )0 39 a b a ，即3a . 3a 时，( )0(1)f xx ，故( )f x在 R 上是增函数，( )f x没有极值； 3a 时，( )=0f x有两个相异的实根 2 1 3 = 3 aab x ， 2 2 3 = 3 aab x . 列表如下 x 1 (,)x
8、1 x 12 (,)x x 2 x 2 (,)x ( )f x + 0 0 + ( )f x 极大值 极小值 故( )f x的极值点是 12 ,x x.从而3a ，因此 2 23 9 a b a ，定义域为3 （，）。 （2）由（1）知 23 9 ba a aa a 。 设 23 ( ) 9 t g t t ，则 2 22 23227 ( ) 99 t g t tt ，当 3 6 (,) 2 t时( )0g t，从而 ( )g t在 3 6 (,) 2 上单调递增。 因为3a ，所以3 3a a ，故() (3 3)= 3g a ag，即 3 b a .因此 23 ba. （3）由（1）知，(
9、 )f x的极值点是 12 ,x x，且 12 2 3 xxa ， 2 22 12 46 9 ab xx . 从而 3232 12111222 ( )()11f xf xxaxbxxaxbx 2222 12 11221212 12 (32)(32)()()2 3333 xx xaxbxaxba xxb xx 3 464 20 279 aabab 记( )f x，( )fx所有极值之和为( )h a， 因为( )fx的极值为 2 2 13 39 a ba a ，所以 2 13 ( ) 9 h aa a ，3a 。 因为 2 23 ( )0 9 h aa a ，于是( )h a在3 （，）单调递减。 因为 7 (6) 2 h ，于是( )(6)h ah，故6a 。因此 a 的取值范围为(36，.
