《连续系统振动(b)-梁的弯曲振动》由会员分享，可在线阅读，更多相关《连续系统振动(b)-梁的弯曲振动（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019年7月23日,振动力学,1,一维波动方程 梁的弯曲振动 集中质量法 假设模态法 模态综合法 有限元法,机械振动理论,连续系统的振动,2019年7月23日,振动力学,2,梁的弯曲振动,动力学方程,细长梁的横向弯曲振动,梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内外载荷作用在该平面内,在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响,梁在该平面作横向振动（微振）, 这时梁的主要变形是弯曲变形,欧拉伯努利梁（Bernoulli-Euler Beam）,f(x,t): 单位长度梁上分布的外力,m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩,梁参数：,I 截面对中性轴的惯性积,单位体积梁的质量
2、,S 梁横截面积,E 弹性模量,外部力：,假设：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,3,f(x,t): 单位长度梁上分布的外力,m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩,微段受力分析,令：,y(x,t): 距原点 x 处的截面在 t 时刻 的横向位移,截面上的剪力和弯矩,微段的惯性力,微段所受的外力,微段所受的外力矩,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,4,力平衡方程 ：,以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：,略去高阶小量得：,材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：,变截面梁的动力学方程：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,5,变截
3、面梁的动力学方程：,等截面梁的动力学方程：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,6,固有频率和模态函数,变截面梁：,讨论梁的自由振动,根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：,代入自由振动方程：,等截面梁：,通解：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,7,等截面梁：,主振动：,第 i 阶主振动：,无穷多个,和 由系统的初始条件确定,系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,8,常见的约束状况与边界条件,（1）固定端,挠度和截面转角为零,（2）简支端,挠度和弯矩为零,（
4、3）自由端,弯矩和剪力为零,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,9,例：求悬臂梁固有频率和模态函数,解：,一端固定，一端自由,边界条件,固定端：挠度和截面转角为零,自由端：弯矩和截面剪力为零,非零解条件：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,10,频率方程,当 i=1,2,3时,当 时,各阶固有频率：,对应的各阶模态函数：,简化,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,11,铅垂梁的前三阶模态形状,第一阶模态,第二阶模态,第三阶模态,一个节点,两个节点,无节点,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月
5、23日,振动力学,12,例：简支梁固有频率和模态函数,解：,一端固定铰，一端滑动铰,固定铰：挠度和截面弯矩为零,滑动铰：挠度和截面弯矩为零,频率方程：,固有频率：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,13,频率方程：,固有频率：,模态函数：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,14,例：两端自由梁的固有频率和模态函数,背景：导弹飞行,系统类别：半正定系统,存在刚体模态,导弹飞行1,导弹飞行2,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,15,频率方程：,模态函数：,当 i=1,2,3时,解得：,当 时,自由端：弯
6、矩和截面剪力为零,当 时,对应刚体模态,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,16,第二阶模态,第三阶模态,第四阶模态,第五阶模态,自由梁的模态形状,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,17,例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,18,解：,梁的自由振动方程：,边界条件,固定端：,自由端：,模态函数：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,19,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,201
7、9年7月23日,振动力学,20,非零解条件：,频率方程：,求得：,对应的各阶模态函数：,代入：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,21,第一阶模态：,第二阶模态：,0.560,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,22,例：悬臂梁,一端固定，另一端有弹性支撑,边界条件,固定端：挠度和截面转角为零,弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等,弹簧二：直线弹簧与挠度成正比,弹簧一：卷簧与截面转角成正比,弯矩平衡条件：,剪力平衡条件：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,23,固定端：,弹性支撑端
8、：,由固定端条件解得：,由弹性支撑固定端条件解得：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,24,或,非零解条件导出频率方程：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,25,（1）若k1、k2 同时为零，则退化为悬臂梁的情形,讨论：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,26,（2）若k10、k2 无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形,讨论：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,27,例：悬臂梁自由端附有质量,求频率方程,解：,固定端：,自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡,利用
9、同上述算例相同的方法，得频率方程：,其中：,为集中质量与梁质量之比,为梁质量,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,28,说明：,以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁高度5倍以上）,若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响,铁木辛柯梁 （Timoshenko beam）,考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,29,模态函数的正交性,等截面梁：,变截面梁自由振动方程：,主振动
10、：,代入，得：,设：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,30,分部积分 ：,在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零,代入（3）式 ：,相减：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,31,时，,主振型关于质量的正交性,主振型关于刚度的正交性,i = j,恒成立,第 j 阶主质量,第 j 阶主刚度,第 j 阶固有频率,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,32,第 j 阶主质量,第 j 阶主刚度,第 j 阶固有频率,时,时,主振型中的常数按归一化条件确定 ：,正则振型,正则振型的正
11、交性：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,33,梁横向振动的强迫响应,方程 ：,令 ：,代入 ：,由正交性条件：,第 j 个正则坐标方程,第 j 个正则坐标的广义力,由分部积分 ：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,34,梁初始条件的处理,第 j 个正则坐标方程：,第 j 个正则模态响应：,得到 后，即可得到梁的响应,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,35,如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,36,中点受常力 P
12、作用产生静变形,例：简支梁,求：当 P 突然移出时梁的响应,解：,由材力得初始条件:,梁中点的静挠度,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,37,梁两端简支,固有频率：,振型函数：,归一化条件：,模态初始条件：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,38,模态初始条件：,没有激振力，正则广义力为零,正则广义力,模态响应：,梁响应：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,39,例：简支梁,求：梁的响应,中点受力矩 作用,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,40,解：,由上例知：,固有
13、频率：,振型函数：,正则广义力：,第 i 个正则方程：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,41,例：悬臂梁,自由端作用有正弦力,求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,42,解：,强迫振动方程 ：,模态函数 ：,设解为 ：,代入方程 ：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,43,利用正则模态正交性条件 ：,模态稳态解 ：,梁的响应：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,44,梁自由端的响应,令 x=l：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2
14、019年7月23日,振动力学,45,例：简支梁，左端承受正弦支撑运动,试求梁的响应。,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,46,解：,振动方程,解释：,微段分析,力平衡方程,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,47,以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：,略去高阶小量：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,48,材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：,梁的振动方程：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,49,代入方程：,令：,设解为：,归一化正则模态,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,50,代入：,正交性：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,51,模态稳态解：,简支梁固有频率：,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,52,连续系统的振动 / 梁的弯曲振动,2019年7月23日,振动力学,53,机械振动理论课程结束！,
