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1、1,121 力的功 122 质点和质点系的动能 123 动能定理 124 功率 功率方程 机械效率 125 势力场 势能 机械能守恒定理 12-6 普遍定理的综合应用举例,第十二章 动能定理,2,与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量动能和作用力的物理量功之间的联系，这是一种能量传递的规律。,动力学,12-1 力的功,力的功是力沿路程累积效应的度量。,力的功是代数量。 时,正功； 时,功为零； 时,负功。 单位：焦耳（）；,一常力的功,3,二变力的
2、功,（自然形式表达式）,（矢量式）,（直角坐标表达式）,动力学,元功：,4,三合力的功 质点M 受n个力 作用合力为 则合力 的功,即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。,动力学,5,四常见力的功 1重力的功,质点系：,质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。,动力学,质点：重力在三轴上的投影：,6,2弹性力的功 弹簧原长 ，在弹性极限内 k弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位 变形时所需的力。N/m , N/cm。,弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。,动力学,7,作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。,若
3、m = 常量, 则,注意：功的符号的确定。,动力学,如果作用力偶，m , 且力 偶的作用面垂直转轴,4作用于转动刚体上的力的功，力偶的功 设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力 ，计算刚体转过一角度 时力 所作的功。M点轨迹已知。,8,正压力 ，摩擦力 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移,动力学,若m = 常量则,9,五质点系内力的功,只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。,动力学,10,动力学,拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。,11,12-2 质点和质点系的动能,物体的动能是由于物体运动而具
4、有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。 一质点的动能 二质点系的动能,动力学,瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。,12,（P为速度瞬心）,1平动刚体 2定轴转动刚体 3平面运动刚体,动力学,三刚体的动能,13,12-3 动能定理,1质点的动能定理：,动能定理的积分形式,动力学,两边点乘以 ，有,14,对质点系中的一质点 ：,即 质点系动能定理的微分形式,在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式,动力学,对整个质点系，有,2质点系的动能定理,将上式沿路径 积分，可得,15,例1 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘A上
5、作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止),动力学,16,解：取系统为研究对象,上式求导得：,动力学,17,动能定理的应用练习题,1图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA，在铅直位置时的角速度至少应为多大？,解：研究OA杆,由,动力学,18,2行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角
6、的函数表示) 和角加速度。,动力学,解：取整个系统为研究对象,将式对t 求导数，得,19,3两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是 AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。,动力学,解：取整个系统为研究对象,20,12-4 功率 功率方程 机械效率,一功率：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。,作用力的功率：,力矩的功率：,功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。,动力学,21,二功率方程： 由 的两边同除以dt 得,动力学,分析：起动阶段（加速）： 即
7、制动阶段（减速）： 即 稳定阶段（匀速）： 即,机器稳定运行时， 机械效率,是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下 。,22,12-5 势力场、势能、机械能守恒定律,一势力场 1力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。,动力学,重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。 质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力),如重力、弹力等。,2势力场： 在力场中, 如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。,23,二势能 在势力场中, 质点从位置M 运动到任选位置M0, 有势力所作的功称为质点在位
8、置M 相对于位置M0的势能，用V 表示。,M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。势能具有相对性。,是坐标的单值连续函数。,等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。,质点系的势能：,动力学,24,1.重力场 质点： 质点系： 2. 弹性力场：取弹簧的自然位置为零势能点 3. 万有引力场：取与引力中心相距无穷远处为零势能位置,有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。,动力学,M1M2：,25,设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力) 作用，则,对非保守系统，设非保守力的功为W12 , 则有,动力学,四机械能守恒定律 机械能：系统的动能与势能的代数和。,这样的系统成为保守系
9、统。,例1 长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。,26,解：由于水平方向不受外力， 且初始静止，故质心C铅垂下降。 由于约束反力不作功, 主动力为有势力， 因此可用机械能守恒定律求解。,由机械能守恒定律：,将 代入上式，化简后得,动力学,初瞬时：,任一瞬时：,27,12-6 普遍定理的综合应用,动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。 动力学普遍定理提供了解决动力
10、学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。 求解过程中,要正确进行运动分析, 提供正确的运动学补充方程。,动力学,28,举例说明动力学普遍定理的综合应用： 例1 两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。,动力学,29,讨论 动量守恒定理动能定理求解。 计算动能时，利用平
11、面运动的运动学关系。,动力学,解：由于不求系统的内力，可以不拆开。 研究对象：整体 分析受力： ， 且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。,代入动能定理：,30,例2 均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。,动力学,解：选系统为研究对象,运动学关系：,31,例3 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。,解：（1）取圆盘为研究对象,，圆盘平动。,动力学,32,（2）用动能定理求速度。 取系统研
12、究。初始时T1=0 ， 最低位置时：,代入数据，得,动力学,33,（3）用动量矩定理求杆的角加速度 。,动力学,杆质心 C的加速度： 盘质心加速度：,（4）由质心运动定理求支座反力。研究整个系统。,代入数据，得,34, 相对质心动量矩守恒定理+动能定理+动量矩定理+质心运动定理。 可用对积分形式的动能定理求导计算，但要注意需取杆AB在 一般位置进行分析。,动力学,例4 基本量计算 (动量,动量矩,动能),35,例 质量为m 的杆置于两个半径为r ，质量为 的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力 时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。,动力学,解：(1)用动能定理求解。 取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时，杆的速度为v，则圆柱体质心速度为v/2，角速度,系统的动能,主动力的元功之和：,由动能定理的微分形式：,两边除以 ，并求导数，得,
