离散时间信号与系统的变换域分析资料

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1、1,2 离散时间信号与系统的变换域分析,本章重点内容：序列的z变换、逆z变换的定义、性质及求解方法；序列的傅里叶变换的定义、性质及求解方法；拉普拉斯变换、z变换及序列的傅里叶变换之间的关系；线性时不变离散时间系统的变换域描述、系统频率响应的定性确定方法及系统的类型。,2,2.1 序列的z变换 2.2 逆z变换 2.3 z变换的性质和定理 2.4 序列的傅里叶变换 2.5 拉普拉斯变换、z变换、序列的傅里叶变换的关系 2.6线性时不变离散时间系统的变换域分析,3,2.1 序列的z变换,2.1.1 z变换的定义 2.1.2 z变换的收敛域,4,z变换的定义可以由离散时间信号直接给出，也可以由采样信

2、号的拉普拉斯变换过渡到z变换。 z变换,2.1.1 z变换的定义,5,2.1.2 z变换的收敛域,z变换的定义式是无穷多项的累加求和，显然，只有当式收敛时才有意义。对于任意给定的序列 ，使其z变换收敛的所有z值的集合称为 的收敛域。我们将使 的分母为0，即 趋于无穷大的点称为极点，而将使 为0的点称为零点，将零极点画在z平面上得到的图形称为零极点分布图。显然收敛域中不包含极点。 按照级数理论，收敛的充要条件是满足绝对可和，即,6,2.1.2 z变换的收敛域,1有限长序列 这类序列只是在有限区间 之间时 的取值才不全为0，而在此区间之外序列值全为零，则其z变换变为 即为有限项之和，因此只要级数的

3、每一项有限，级数就一定收敛。由于 的每个样点值都是有限的，所以只要 为有限值，有限长序列的z变换就能收敛。,7,2.1.2 z变换的收敛域,当 时(往往称为有限z平面)， 肯定是有限的，因此在这个区域内，有限长序列的z变换就一定收敛。但是 和 时 是否有限，还取决于 和 的取值情况，讨论如下： （1）当 时， 中取非零值时的序号均不小于零，则 中不存在z的正次幂，因此，当时， 为有限值，因此，这时的收敛域包括 ，即收敛域为 ；,8,2.1.2 z变换的收敛域,（2）当 时， 中取非零值时的序号均不大于零，则 中不存在z的负次幂，因此，当时， 为有限值，因此，这时的收敛域包括，即收敛域为 ； （

4、3）当 而 时， 中既存在z的负次幂，也存在z的正次幂，因此 和 时 均可能无限，这时的收敛域不能包括 和 ，即收敛域为 。,9,2.1.2 z变换的收敛域,2右边序列 这类序列是指只在 时， 取值不全为零，在 时， 全为0，其z变换为 上式右边的第一项为有限长序列的z变换，按照上面的讨论，其收敛域为有限z平面。而第二项是z的非正幂级数，按级数收敛的阿贝尔(N.Abel)定理可知，存在一个收敛半径 ，级数在以原点为中心、 为半径的圆外任何点都收敛。,10,2.1.2 z变换的收敛域,综合两项的收敛域，当两项均收敛时整个级数才收敛。因此，如果 是收敛域的最小半径，则右边序列的z变换的收敛域为 如

5、果 ，这类右边序列称为因果序列，这时 的z变换中不存在第一项，即级数中不包含z的正次幂，因此其收敛域包含 ，即 或 处z变换收敛是因果序列的特征，因果序列的z变换的收敛域包含 ，,11,2.1.2 z变换的收敛域,反之，如果一个序列z变换的收敛域包含 ，则该序列一定是因果序列。,12,2.1.2 z变换的收敛域,3左边序列 这类序列是指只在 时， 取值不全为零，在 时， 全为0，其z变换为 等式右边第二项是有限长序列的z变换，收敛域为有限z平面，第一项是z的正幂级数，按阿贝尔定理，必存在收敛半径 ，级数在以原点为中心、 为半径的圆内任何一点都收敛。综合两项的收敛区域，左边序列的收敛区域为,13

6、,2.1.2 z变换的收敛域,如果 ，则其z变换右端不存在第二项，即不存在z的负次幂，这样的序列称为反因果序列，其收敛域应包括 ，即,14,2.1.2 z变换的收敛域,4双边序列 这类序列是指为任意值时，即 时 均有不为零的值，可以把它看成是一个左边序列和一个右边序列之和，即 因此，该序列为左边序列和右边序列收敛域的公共部分，如果右边序列的收敛半径为 ，左边序列的收敛半径为 ，且满足 则双边序列存在公共收敛区域,15,2.1.2 z变换的收敛域,16,2.2 逆z变换,2.2.1 围线积分法(留数法) 2.2.2 部分分式展开法 2.2.3 长除法(幂级数展开法),17,2.2.1 围线积分法

7、(留数法),利用柯西积分公式，可得的逆z变换公式如下： 式中 表示围线积分，C为在收敛域内逆时针环绕原点的一条闭合曲线。直接计算围线积分较麻烦，若被积函数 是有理分式，一般采用留数定理来求解。,18,2.2.1 围线积分法(留数法),根据留数定理，若被积函数 在围线C上连续，在围线C以内有K个极点 ，而在围线C以外有M个极点 (K、M均为有限值)，则有 (a) 及 (b) 其中 表示取留数。表明序列 等于 在围线C以内的所有留数的和，也等于围线C以外所有留数的和的负值。,19,2.2.1 围线积分法(留数法),这样利用留数定理，逆z变换的求解就变成了留数的计算问题，计算过程大为简化。下面讨论留

8、数的求解方法。 设 是 的单重极点，则其留数为 如果 是 的多重(l阶)极点，则其留数为,20,2.2.2 部分分式展开法,在实际应用中， 一般是z的有理分式 则 可以展开成以下的部分分时展开式,21,2.2.2 部分分式展开法,其中 为 的一个r阶极点，各个 是 的单极点， 是 的整式部分的系数，当 时存在 ( 时仅有 项)， 时，各个 ， 可用长除法求得。,22,2.2.2 部分分式展开法,根据留数定理，系数可用下式求得 系数可由下式求得 展开式的系数确定后，根据收敛域的不同，再分别求出式(2-11)右边各项的逆z变换(可以利用表2-1中的基本z变换对的结果)，原序列就是各个序列之和。,2

9、3,2.2.2 部分分式展开法,用部分分式法求z变换时，较方便的方法是把 转换成z的正幂次表示式，再求 (单极点时)或 (r重极点时)部分分式展开的各项系数。,24,2.2.3 长除法(幂级数展开法),因为 的z变换定义为z的幂级数，所以，只要在给定的收敛域内把 展开成幂级数，则级数的系数就是序列 。 在利用长除法求逆z变换时，同样要根据收敛域判断序列 的性质，然后再展开成相应的z的幂级数。当 的收敛域为 时， 为右边序列，此时应将 展开成z的负幂级数，因此 分子分母应按z的降幂排列进行长除；如果 的收敛域为 时， 为左边序列，此时应将 展开成z的正幂级数，因此 分子分母应按z的升幂排列进行长

10、除。,25,2.3 z变换的性质和定理,1线性性 z变换是一种线性变换，满足叠加原理。如果序列 和 的z变换是 和 ，即 则 其中a，b为任意常数。相加后z变换的收敛域为两个序列z变换收敛域的重叠部分。如果线性组合后某些极点和零点相互抵消，则收敛域可能扩大。,26,2.3 z变换的性质和定理,2序列的移位 如果序列 的z变换为 则有 式中n0为任意整数，可以为正(右移)，也可以为负(左移)。,27,2.3 z变换的性质和定理,3序列乘指数序列(z域尺度变换) 若序列 乘以指数序列 ，a是常数，若 则,28,2.3 z变换的性质和定理,4序列的反转 若 则,29,2.3 z变换的性质和定理,5序

11、列的共轭 一个复序列 的共轭序列为 ，若 则,30,2.3 z变换的性质和定理,6序列的线性加权(z域微分) 若已知 则,31,2.3 z变换的性质和定理,7初值定理 对于因果序列 ，有,32,2.3 z变换的性质和定理,8终值定理 如果 为因果序列，且 的极点处于单位圆( )以内(单位圆上最多在 处可有一阶极点)，则,33,2.3 z变换的性质和定理,9时域卷积定理 若 则,34,2.3 z变换的性质和定理,时域卷积定理是z变换的重要定理，由第一章可知，系统的输出等于输入与系统单位脉冲响应的卷积，利用卷积定理，可通过求解 的逆z变换而求出输出序列。根据相关和卷积之间的关系，可以很容易的得出时

12、域相关的z变换,35,2.3 z变换的性质和定理,10序列相乘(z域复卷积定理) 若 且 则 其中C是v平面上 与 公共收敛域中绕原点逆时针旋转的闭合曲线。,36,2.4 序列的傅里叶变换,2.4.1 序列的傅里叶变换的定义 2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质 2.4.3 序列的傅里叶变换举例,37,2.4.1 序列的傅里叶变换的定义,序列的傅里叶变换定义为 注意，它是的连续函数，这也是我们在第三章将要介绍离散傅里叶变换的原因。 由于有 其中M为整数。所以有 因此，序列的傅里叶变换 是周期函数，周期为2。序列的傅里叶变换是序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到。,38,2.4.1

13、 序列的傅里叶变换的定义,比较序列的傅里叶变换的定义式与z变换的定义式可知，序列的傅里叶变换是z变换在时的特殊情况，故有 一般为的复变函数，可表示为 其中 、 分别为 的实部和虚部， 通常称为幅频特性或幅度谱， 而称为相位谱，且有 它们都是的连续函数和周期为2的周期函数。,39,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,1线性性 若 ， ，a，b为任意常数，则有,40,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,2序列的时移 若 ，则 即时域的移位对应于频域的相移。,41,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,3序列乘指数序列 若 ，则,42,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,4序列乘复指数

14、序列(调制) 若 ，则 即时域的调制对应于频域的移位。,43,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,5序列的线性加权 若 ，则 时域的线性加权对应于频域的一阶导数乘以j。,44,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,6序列的反转 若 ，则 时域的反转对应于频域的反转。,45,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,7序列的共轭 若 ，则 时域的共轭对应于频域的共轭且反转。 以上性质的证明与z变换对应的性质的证明方法类似，请读者自行证明。,46,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,8时域卷积定理 若 ， ，则 即时域的卷积对应于频域的乘积。,47,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,9频域卷积定理 若 ， ，则 即时域的相乘对应于频域的卷积并除以2。,48,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,10帕塞瓦尔(Parseval)定理 若 ，则 时域的总能量等于频域的总能量，即能量守恒定理。,49,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,11对称性质 若序列 满足 则称序列 为共轭对称序列。对应地，若序列