静电场1-(2)

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1、2.1 电荷与电荷密度,一、电荷 1. 带电体与电荷 带电体的特性：能够吸引轻小物体 2. 电荷分类 正电荷、负电荷 3. 电量 带电体所带电荷的多少叫电量，在国际单位制（SI单位制）中，电量的单位是库仑（C）,4. 电荷的基本性质 1）分布的离散性 2）量子性 e1.60210-19C 3）守恒性 电荷守恒定律 4）相对论不变性,1. 体密度 2. 面密度 3. 线密度,4. 点电荷,二、电荷密度,2.2 库仑定律, 文字表述 在真空中，两个静止点电荷之间的作用力，与这两个电荷的电量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向在两个电荷的连线上，两电荷同号为斥力，异号为吸力。, 数学

2、表达式 1）来自实验定律的表达式,一、库仑定律,2）电磁学通用表达式 通常将系数 记为 其中 称为真空电容率或真空介电常数 于是,3）库仑定律符合牛顿第三定律,二、静电力的叠加原理,数学表达式,例题2.1 解：利用叠加原理,2.3 电场和电场强度,2. 电场力的本质 一个电荷的电场作用在另一个电荷上的力。,一、电场,1. 法拉第的场的观点,3. 电场的物质性 1）电场是伴随着电荷而生的一种特殊物质。 2）电场没有可见的形态，但其具有可以被检测的运动速度、能量和动量，占有空间。 3）场和实物是物质存在的两种不同形式。,电荷在其周围空间产生电场这种物质，当其它带电体的电荷处于这个电场之中时，就会与

3、该电场作用而受力。,二、电场强度,1. 电场强度的引入,表明： 是一个大小和方向都确定的值，与试验电荷本身电量的大小和符号无关。,可见， 是一个反映电场空间各点性质的物理量，我们将其记作 ，称为电场强度。,单位： 牛顿/库仑 (N/C) 伏特/米 (V/m),物理意义： 电场强度是一个矢量函数，它逐点描述了电场空间的性质。,定义式,2. 点电荷的电场,试验电荷 在场源点电荷Q的电场中所受的库仑力为,于是，点电荷电场强度表示为,3. 电场的叠加原理,其中 代表自Qi 到P (x, y, z)点的相对位置矢量,1）离散电荷系统 如果真空中有N个点电荷Q1、Q2、QN，则任意场点P (x, y, z

4、) 处的总电场强度等于各个点电荷单独产生的电场强度的矢量和,2）连续电荷系统,体电荷,微元电荷,总场强,面电荷,线电荷,4. 例题2.3,面积微元的电场,其中,圆环的电场,圆面的电场,解：,讨论：,1） x a 的情况,可以证明，对于不在轴线上的场点，只要与轴线距离远小于电荷圆面的半径，结论仍然成立。,无限大均匀带电平面的电场：,其中 是带电平面的法矢,2） x a 的情况,这与点电荷场强公式一致。可见，只要a / x足够小，就可以把带电圆面视为点电荷。,这个结论表明，带电体能否被看作点电荷，不在于其本身绝 对尺寸的大小，而在于其线度与它到场点的距离相比是否足够小。,2.4 电力线与电通量,一

5、.电力线,1定义： 电力线是充满电场空间的一个假想曲线族，曲线上每一点的切线方向与该点电场强度的方向平行，曲线的疏密与场强的大小成正比。,3性质： 电力线发自正电荷（或无穷远），止于负电荷（或无穷远），不形成闭合回线，在无电荷处不中断。 任何两条电力线不会相交。这说明静电场中每一点的场强只有一个方向。,微分方程,电力线实质上就是矢量分析中所介绍的矢量线，其微分方程为,4几种常见电荷系统的电力线,二. 电通量,1电通量密度,单位：库仑/米2(C/m2)，与电荷面密度的单位相同。,方向：在真空中， 与 方向处处相同，模值相差0。,定义： 称为（真空）电通量密度(也称作电位移矢量),2电通量,定义：

6、电场中任意点处矢量面元与该点电通量密度矢量的点积，叫作此面元所通过的电通量，记作,其中为面元法线与矢量的夹角,单位：电通量是标量，单位是库仑（C），与电荷单位相同。,如果S为一闭合曲面，则S上通过的电通量可以写成,讨论：/2（即 与 指向曲面的两侧）时， 为负，,由于闭合曲面一般都规定其面元法线指向外， 因此，若 0 称有电通量“流出”闭合面； 0， 称有电通量“流入” 闭合面。,2.5 高斯定律,一. 立体角,1定义：,从一给定点O 向一给定的有向曲面S的边线作连线，连线的集合构成一个锥面，该锥面所对应的空间角度叫做O 点对S 所张的立体角.,2数学表达式,3任意曲面的立体角,4. 讨论：任

7、意闭合曲面的立体角,立体角的顶点O在闭合曲面内部,立体角的顶点O在闭合曲面外部,例2.4 有一半径0.3m的圆盘，在通过圆心并且与圆盘相垂直的轴线上、距离圆心0.4m处的P点观看该盘时，立体角等于多少？,讨论：,P点从盘上方趋近圆盘时,P点是从盘下方趋近圆盘,解：,推广：任意曲面上，曲面上的点对曲面所张的立体角为 ， 点和曲面法矢在曲面的两侧时取正，同侧时取负。,二. 高斯定律的积分形式,1高斯定律积分形式的证明,当闭合曲面S包围电荷Q 时,当闭合曲面S不包围电荷Q时,将以上结果推广到场空间有M个点电荷的情况,当电荷以体密度分布在闭合曲面S内时,2高斯定律（积分形式）的物理意义,3对高斯定律的

8、说明,电场空间任意闭合曲面上的电通量恒等于此闭合曲面所包围的总电荷量。,虽然闭合曲面上的电通量只与曲面内部的电荷量有关，但闭合面上每一点的电场强度却与曲面内外的电荷都相关，它是空间所有电荷共同产生的。,4 利用高斯定律求解电场问题的步骤：,根据电荷分布的对称性分析电场的方向和对称性；,将高斯定律应用在过场点的闭合曲面上计算电通量密度数值；,写出电场强度的矢量表达式。,关键技巧是选取合适的高斯面,5 （电荷对称性分布）例题,例 2.5 电量Q0以体电荷形式均匀分布在arb的球壳层区域内，求空间任意点的电场强度。,解：电场强度矢量具有球对称性,在rb区域内,由此可得,在arb的区域内,利用场的对称

9、性，得,因此有, 在ra的区域内,因此有,当 a0 时，电荷域变成全充填球体。 球内电场距离r成正比，球外电场与球心处等量点电荷电场相同。,当 ab 时，电荷域变成球面。 球面内电场恒为零，球面外场与球心处等电量点电荷的电场相同。 电场在电荷面两侧产生突变。,讨论：,例2.6 无限大均匀带电平面的电场。,解：电场强度矢量具有柱对称性,圆柱侧面上,两底面上,将高斯定律用在圆柱闭合面上,所以有,而,若给定带电平面的法矢为 ， 则场点在法矢同侧时，电场矢量与法矢方向相同， 场点在法矢异侧时，电场矢量与法矢方向相反。,6 （电荷非对称性分布）例题,例2.7 在半径为b、体电荷密度为的均匀带电球体内部，

10、有一半径为a的不带电偏心球形空腔，两球心的相对位置矢量为 ，求空腔内的电场强度。,r = b球域内电荷在球内点的电场,对r = a球域内的电荷在球内点产生电场,腔内任意点的场是上面两部分电场的矢量和，即,解：,腔内为均匀电场,三. 高斯定律的微分形式,1高斯定律微分形式的证明,上式的右边是场点P处的电荷体密度，左边正是矢量 的散度,做一个小闭合曲面S 包围所要讨论的场点P(x,y,z)， 应用高斯定律积分形式，有,将闭合面S向P点收缩，当S足够小时,所以有,取极限,2高斯定律（微分形式）的物理意义, 反映了空间任意一点的电场与该点电荷密度的一一对应关系。, 在产生电场的电荷区域，电场散度不为零

11、，故静电场是有源场。,例2.9 已知一电场的分布为,求对应的电荷分布,3 例题,解： 在r a的区域内,在r a的区域内,2.6 静电场的环路定理,电荷元Q电场的旋度,1、环路定理的推导,空间多个电荷总电场的旋度,环路定理,P18 例1.2,微分形式,积分形式,2、物理意义,表明了静电场的保守性和无旋性,3、静电场的基本方程,高斯定律,静电场环路定理,由亥姆霍兹定理可以知道，一个矢量场的性质由它的散度和旋度共同决定。因此，高斯定律和环路定理被称作静电场的基本方程。,2.7 电位和电位差,一、电位的基本概念,1、引入,2、计算式,任意场点P的电位,P0为电位参考点，电位为零。 是P 到P0任意路

12、径l上的矢量线元。,3、物理意义,单位电荷受到的力；,电场力将单位电荷从场点P移到参考点P0所作的功。,电场力将单位电荷移动 ，所做的功；,二、电位的求解,1、一个约定（绝对电位）,当场源电荷分布在有限区域内时，习惯把参考点P0放在无限远处，这时的电位称作绝对电位。,意义：电场力把单位电荷从P点移到无限远处所作的功。,4、几点说明,电位是一个相对量，必须明确参考点的位置；,电场强度不随电位参考点的变化而变化；,空间一点上的电场强度矢量垂直过该点的等电位面， 并且指向电位下降最快的方向。,2、利用电荷分布计算电位,假定场源点电荷 Q 位于点 ，则任意场点 M 处，电场强度是,1）点电荷的电位（在

13、绝对电位约定下）,待求场点 P 的电位,当 时,2）电位叠加原理,离散电荷系统,电荷体分布,电荷面分布,电荷线分布,连续电荷系统,根据电位定义,根据点电荷公式，得,注意： 电位叠加原理只适用于场源电荷分布在有限区域内的情况。,三、电位差,电场中任意两点 A 和 B 的电位之差，叫做 A、B 两点之间的电位差（或电压），记作UAB,1、定义,2、物理意义,电场力将单位电荷从 A 点移到 B 点所作的功。,3、电位与电位差的差别,电位 与参考点的位置选取有关。,电位差 与参考点的位置选取无关。,四、电势能（电位能）,与重力场中的物体具有重力势能类似，电场中的电荷具有电势能。,1、定义,2、讨论,负

14、电荷具有负电位能，且| Q |越大电位能越低。,正电位点：,正电荷具有正电位能，且Q 值越大电位能越高；,电荷的电量 Q 与该电荷所在点的电位U 的乘积称作该电荷的电位能或电势能,负电位点：,情况与正电位点正好相反,五、例题,例2.9 求一半径为a、总电量为Q的均匀电荷球面所产生的电位。,解：方法1 利用叠加原理,建立坐标系，确定参考点,以球心为原点建立球坐标系，取无穷远电位参考点,确定电荷元表达式,利用叠加原理求电位,电荷面密度,电荷元电量,由于电位具有球对称性，故可以将任意场点P选在= 0的极轴上 ，则,于是,当r a 时取“”，r a 时取“” ，得,方法2 利用电位定义式求解,利用高斯

15、定律求电场强度,r a 时,r a 时,利用电位定义式求U,讨论：当电荷以面密度分布时，电荷面两侧的电场强度是不相等的，而两侧的电位却是连续的，这一结论对于面电荷两侧的电场和电位具有普遍意义。,求: (a) 此线电荷产生的任意点电位。 (b) 当L时，任意点的电位和电场强度。,例2.10 真空中长度为L的线电荷与z 轴重合且电荷沿线均匀分布，电荷密度为,解: (a) 设线电荷L的中点为原点，L 所在直线为z轴建立柱坐标系,利用叠加原理,电荷元,(b)当L时,这表明，当场源电荷延伸至无限时，直接应用无限远参考点的电位积分式将出现电位发散的结果。,改进：将参考点选在有限远的某一点上。,(b) 解法1 利用电位定义求解,利用高斯定律,利用电位定义式,无限长线电荷的电场,选取有限远点 为参考点,积分路径,只有 段 ，所以,(b) 解法2 利用有限长度线电荷的结果求解U,选取有限远点 为参考点,利用电位定义式，可求得电场强度,当r = r0时，上式等于零，可见这里 是电位参考点。,2.8 电位的泊松方程和拉普拉斯方程,1、静电场的微分方程,泊松（Poison）方程,拉普拉斯（