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1、,课题：二次函数复习,图象与性质,交点情况,解析式的确定,应 用,一、图象与性质,二 次 函 数,二次函数知识要点,0,ax2+bx+c,2,1、二次函数的定义： 形如“y= （a、b、c为常数，a ）”的函数叫二次函数。即，自变量x的最高次项为 次。,2、二次函数的解析式有三种形式： 一般式为 ； 顶点式为 。其中，顶点坐标是（ ），对称轴是 ； 交点式为 。其中x1，x2分别是抛物线与x轴两交点的横坐标。,yax2bxc,ya(x-h)2k,h, k,xh的直线,ya(xx1)(xx2),3、图象的平移规律：,正上左，负下右；位变形不变。,对于抛物线y=a(x-h)2+k的平移有以下规律：
2、,(1)、平移不改变 a 的值； (2)、若沿x轴方向左右平移，不改变 a, k 的值； (3)、若沿y轴方向上下平移，不改变a , h 的值。,4、,5、对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），a决定图象的 。当a0时，开口向 ，当a0 或c0呢？ a、b共同决定对称轴，当a、b同号，对称轴在y轴的 侧 ，当a、b异号呢？当b=0呢？,二次函数知识要点,开口方向,上,下,左,y,纵,原,1、二次函数 y=x2-8x+12图象的开口向 , 对称轴是 ，顶点坐标为 。,小练习：,直线x=4,(4,）,上,2、二次函数y=-3(x-1)5的图象开口向 ，对称轴是 ，当x= 时 函数有最 值为 。
3、当x 时，y随x的增大而增大。,下,直线x=1,1,1,大,5,4、函数 的顶点坐标是 ，对称轴 。,3、抛物线 向上平移2个单位， 向左平移3个单位，所得解析式是 。,开口方向 ，,当x 时，y随x的增大而增大,当x 时，y随x的增大而减小,当x 时，y有最大值或最小最，最大或最小值是 。,抛物线与x轴交点坐标为 ，,抛物线与y 轴的交点坐标为 。,A,C,x,y,o,A,C,x,y,o,B,B,5、根据下列图象确定二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的符号。,(1)a0; b0 ; c0,(2) a0;b0;c0,例 题,(3)当x0时，y随x的增大而减小.,例2：已知二次函数y=x2
4、-x+c。 求它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； c取何值时，顶点在x轴上？ 若此函数的图象过原点，求此函数的解析式，并判断x取何值时y随x的增大而减小。,例 题,解：函数y X2X C中，a10，,此抛物线的开口向上。,根据顶点的坐标公式x 时，y ,顶点坐标是（ ， ）。对称轴是x 。,例 题,(1)直线 x = 2，（2，-9）,(2) A（1，0） B（5，0） C（0，5）,(3) 27,例4 已知二次函数 的图象与 x 轴交 于A、B两点，与 y 轴交于C点，顶点为D点. （1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）求出A、B、C的坐标； （3）求 DAB的面积.,例题解答,例
5、 题,例4 已知抛物线 与 x 轴交于点A（1, 0） 和B（3，0），与 y 轴交于点C ，C在 y 轴的正半轴上， SABC为8. （1）求这个二次函数的解析式；（2）若抛 物线的顶点为D，直线CD交 x 轴于E. 则x 轴 上的抛物 线上是否存在点P ，使 SPBE=15 ？,1、 抛物线 如图所示，试确定 下列各式的符号：,a _0 (2) b _0 (3) c _0 (4) a+b+c _0 (5) ab+c _0,练习,2、抛物线 和直线 可以在同一直角坐标系中的是（ ）,A,练习,3、 已知抛物线 y=2x2+2x4， 则它的对称轴为_，顶点为 _，与x轴的两交点坐标为 _， 与
6、y轴的交点坐标为_。,（0,4）,练习,4、已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1），M（2，-3）两点。 若抛物线的对称轴是直线x= -1，求此抛物线的解析式。 若抛物线的对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围。,归纳小结：,抛物线的对称轴、顶点最值的求法：,二 次 函 数,抛物线与x轴、y轴的交点求法： 二次函数图象的画法（五点法）,（1）配方法；（2）公式法,对于抛物线y=a(x-h)2+k的平移有以下规律：,(1)、平移不改变 a 的值； (2)、若沿x轴方向左右平移，不改变 a, k 的值； (3)、若沿y轴方向上下平移，不改变a , h 的值。,课后练习：,1抛物线
7、y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（ ） A .y=x2+2x2 B. y=x2+2x+1 C. y=x22x1 D .y=x22x+1,2已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则一次函数y=ax+bc 的图象不经过（ ）,A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,课后练习：,3、已知以x为自变量的二次函数y=(m2)x2+m2m2的图象经过原点，则m= ，当x 时y随x增大而减小.,4、函数y=2x27x+3顶点坐标为 .,5、抛物线y=x2+bx+c的顶点为（2，3），则b= ，c= .,6、如果抛物线y=ax2+bx+c的对
8、称轴是x=2，且开口方向，形状与抛物线y=x2相同，且过原点，那么a= ，b= ，c= .,7如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A 、B、C三点， （1）观察图象，写出A 、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式， （2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴 （3）观察图象，当x取何值时，y0?,y,x,A,B,O,-1,4,5,C,课后练习：,8、已知二次函数y=(m22)x24mx+n的图象关于直线x=2对称，且它的最高点在直线y=x+1上. （1）求此二次函数的解析式； （2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线y=x+1上移动到点M时，图象与x轴交于A 、B两点，且SABM=8，求此时的
9、二次函数的解析式 。,课后练习：,二、抛物线与坐标轴的交点情况,二 次 函 数,二次函数知识要点,6、对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），=b2-4ac。当0时,抛物线与x轴有 个交点，这两个交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的两个不相等的根。当=0时,抛物线与x轴有 个交点。这时方程ax2+bx+c=0有两个 的根。当0时，抛物线与x轴 交点。这时方程ax2+bx+c=0根的情况 。,两,一,无,没有实数根,相等,1、抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 .,练一练,2、直线y=3x+2与抛物线y=x2x+3的交点有 个，交点坐标为 。,3、抛物线y=x2
10、+bx+4与x轴只有一个交点则b= 。,4,一,(-1,5),4或-4,4二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴 （ ） A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点,练一练,D,5、已知二次函数 y=kx27x7的图象与x轴 有交点，则k的取值范围是 ( ),B,二 次 函 数,练一练,例 题,1、已知抛物线y=x2+ax+a-2. (1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点; (2)求这两个交点间的距离(用关于a的表达式来表达); (3)a取何值时,两点间的距离最小?,例 题,2、已知二次函数y=-x2+(m-2)x+m+1， （1）试说明：不论m取任
11、何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点； （2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ （3）若这个二次函数的图象与x轴有两个交点A(x1,0)、B(x2,0), 且x10x2, OA=OB，求m的值。,3、已知抛物线yax2(b1)x2. （1）若抛物线经过点（1,4）、（1,2）, 求此抛物线的解析式; (2) 若此抛物线与直线yx有两个不同的交点P、Q,且点P、Q关于原点对称. 求b的值; 请在横线上填上一个符合条件的a的值： a ,并在此条件下画出该函数的图象.,例 题,例 题,4、巳知：抛物线 (1)求证；不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A(2，0)；
12、(2)设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式； (3)设d=10，P(a，b)为抛物线上一点： 当A是直角三角形时，求b的值；,练习：,1、抛物线y=x2-（2m-1）x- 6m与x轴交于（x1，0）和（x2，0）两点，已知x1x2=x1+x2+49，要使抛物线经过原点，应将它向右平移 个单位。,2、抛物线y=x2+x+c与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0)，(x2,0)，若x12+x22=3，那么c值为 ，抛物线的对称轴为 ,3、一条抛物线开口向下，并且与x轴的交点一个在点A（1，0）的左边，一个在点A（1，0）的右边，而与y轴的交点在x轴下方，写出一个满足
13、条件的抛物线的函数关系式 ,4、已知二次函数y=-x2+(m-2)x+3(m+1)的图象如图所示 （1）当m-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）求m的取值范围； （3）在（2）的情况下，若OAOB=6，求C点坐标；,O,练习：,5、已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1x2），则对于下列结论： 当x2时，y1； 当xx2时，y0； 方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1、x2； x1-1，x2-1； ， 其中所有正确的结论是 （只需填写序号）,归纳小结：,二 次 函 数,抛物线y=ax2+bx+c (a0)与x轴
14、的两交点A、B的横坐标x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根。,1若抛物线y=ax2+bx+c的所有点都在x轴下方，则必有 （ ） A、a0, b2-4ac0; B、a0, b2-4ac 0; C、a0, b2-4ac0 D、a0, b2-4ac0.,课后练习：,2、已知抛物线=x2+2mx+m -7与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则关于x的方程x2+（m+1）x+m2+5=0的根的情况是（ ） （A）有两个正根 （B）有两个负数根 （C）有一正根和一个负根 （D）无实数根。,课后练习：,4、设 是抛物线 与X轴的交点的横坐标，求 的值。,5、二次函数 的图象与X轴交于A、B两点，交Y轴于点C，顶点为D，则SABC= , SABD= 。,3、已知抛物线 与x轴的两个交点间的距
