《2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词课件 新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词课件 新人教a版选修1-1（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4 全称量词与存在量词,1.全称量词与全称命题 (1)短语“所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称命题. (3)全称命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:xM,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”. (4)全称命题的真假判断:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称命题是假命题,只需列举出一个x0M,使得p(x0)不成立即可. 名师点拨1.全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任
2、何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”. 2.有些命题省去了全称量词,但仍是全称命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”.,2.存在量词与特称命题 (1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示. (2)含有存在量词的命题,叫做特称命题. (3)特称命题的表述形式:存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为:x0M,p(x0),读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”. (4)特称命题的真假判断:要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0,使得命题p(x0)成立即可.,名师点拨1.特称命题就是陈述某集合中存在一个
3、或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等. 2.全称命题与特称命题的区别 (1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”. (2)特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”. 特别提醒通过举例验证的方式说明全称命题为真是容易出现的错误,注意规避.,【做一做1】 (1)命题“有些长方形是正方形”中含有的量词是 ,该量词是 量词(填“全称”或“存在”),该命题是 命题(填“全称”或“特称”). (2)命题“负数没有对数”中省略的量词是 ,这是一个 命题(填“全称”或“
4、特称”). 答案:(1)有些 存在 特称 (2)所有的 全称,【做一做2】 下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( ) A.存在一个,使tan =tan(90-) B.存在实数x0,使sin x0= C.对一切,使sin =sin(180-) D.sin(-)=sin cos -cos sin 解析:只有A,B两个选项中的命题是特称命题,而由于|sin x|1, 所以sin x0= 不成立,故B中命题为假命题. 又因为当=45时,tan =tan(90-),故A中命题为真命题. 答案:A,3.全称命题与特称命题的否定,名师点拨1.写出一个全称命题或特称命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行
5、改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定. 2.全称命题(或特称命题)与其否定的真假性恰好相反.,【做一做3】 (1)“至多有三个”的否定为 . (2)已知命题p:xR,sin x1,则p是 . (3)命题“x0Q, ”的否定是 ,这是 命题(填“真”或“假”). 答案:(1)最少有四个 (2)x0R,sin x1 (3)xQ,x25 真,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”. ( ) (2)同一个特称命题的表达形式是唯一的. ( ) (3)全称命题的否定一定是特称命题,特称命题的否定一定是
6、全称命题. ( ) (4)特称命题的否定是对“量词”和“p(x)”的同时否定. ( ) (5)全称命题与其否定的真假可以相同. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,思维辨析,全称命题与特称命题的判断 【例1】 判断下列命题是全称命题还是特称命题: (1)所有的常数数列都是等比数列; (2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|; (3)对任意a,bR,若ab,则 ; (4)有一个函数,既是奇函数,又是偶函数; (5)质数都是奇数. 思路点拨:首先看命题中是否含有全称量词或存在量词,或含有相关量词,则根据量词确定命题是全称命题或者是特称命题;若没有
7、,要结合命题的具体意义进行判断.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,自主解答:(1)含有全称量词“所有的”,故是全称命题. (2)含有存在量词“有些”,故是特称命题. (3)含有全称量词“任意”,故是全称命题. (4)含有存在量词“有一个”,是特称命题. (5)省略了全称量词“所有的”,是全称命题. 反思感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的方法: (1)分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题. (2)当命题中不含量词时,要注意根据命题的含义进行判断. (3)全称命题有时会省略全称量词,但特称命题的量词一般不能省略.,探究一,探究二,探究三,思维辨析
8、,变式训练1下列命题中,是全称命题的是 ,是特称命题的是 .(填序号) 正方形的四条边相等;有两个角是45的三角形是等腰直角三角形;正数的平方根不等于0;至少有一个正整数是偶数. 解析:是全称命题,是特称命题. 答案: ,探究一,探究二,探究三,思维辨析,全称命题与特称命题的真假判断 【例2】 判断下列命题的真假: (1)任意直线都存在斜率; (2)存在实数,使得sin(-)=-sin ; (3)存在等差数列,其前n项和Sn=n2+2n-1; (4)xR,sin x+cos x-1; 思路点拨:先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再根据相应命题真假性判断的方法进行判断.,探究一,探究二,探究
9、三,思维辨析,自主解答:(1)这是全称命题,由直线斜率的定义知,倾斜角等于90的直线不存在斜率,故该命题为假命题. (2)这是特称命题,由于sin(-)=sin =-sin ,因此sin =0,这时=k(kZ),即当=k(kZ)时,满足sin(-)=-sin ,故该命题是真命题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟全称命题与特称命题真假的判断技巧 (1)全称命题:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可. (2)特称命题:要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中
10、,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,全称命题与特称命题的否定 【例3】写出下列各个命题的否定: (1)一切分数都是有理数; (2)有些实数的绝对值是正数;,思路点拨:先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再按照规则写出相应的否定.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,自主解答:(1)命题的否定:有些分数不是有理数; (2)命题的否定:任意实数的绝对值都不是正数;,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.一般地,对含有一个量词的命题进行否定时,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并
11、找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定. 2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,对全称量词与存在量词的意义理解不清致误 【典例】 已知函数f(x)=x2-2x,函数g(x)=ax+2(a0),x1-1,2, x0-1,2,使f(x1)=g(x0),则a的取值范围是( ),易错分析:本题的常见错解是由题意推出函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集,原因是对全称量词与存在量词的意义理解不清. 自主解
12、答:由于函数f(x)在定义域-1,2内是任意取值的,且必存在x0-1,2使得f(x1)=g(x0),因此问题等价于函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集,函数f(x)的值域是-1,3,函数g(x)的值域是2-a,2+2a,则有2-a-1且2+2a3,即a3.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得:应用全称命题与特称命题求参数的取值范围时应注意: (1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题,当全称命题为真时,命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以代入,也可以根据函数或不等式等数学知识来求解. (2)特称命题的相关题型常用满足某种条件的变量“存在”“不存在”“是否存在”等语句
13、表达.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则变量存在;若导致矛盾,则否定了假设变量不存在,结论不成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,跟踪训练若命题p:xR,ax2+4x+a-2x2+1是真命题,则实数a的取值范围是( ) A.(-,2 B.2,+) C.(-2,+) D.(-2,2) 解析:ax2+4x+a-2x2+1是真命题,即不等式ax2+4x+a-2x2+1对xR恒成立,即(a+2)x2+4x+(a-1)0恒成立. 当a+2=0时,不符合题意.,答案:B,1.下列命题不是特称命题的是( ) A.有些实数的平方
14、可以等于零 B.存在x00,使 C.至少有一个三角函数的周期是2 D.二次函数是偶函数 解析:“二次函数是偶函数”意思是“所有的二次函数都是偶函数”,故此命题是全称命题,不是特称命题. 答案:D,3.若命题p:xR,x2-2x+m0是真命题,则实数m的取值范围是( ) A.m1 B.m1 C.m1. 答案:B 4.命题“有些数列既是等差数列又是等比数列”的否定是 . 答案:任何数列都不能既是等差数列又是等比数列 5.指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假: (1)若a0,且a1,则对任意实数x,ax0; (2)T0R,使|sin(x+T0)|=|sin x|; (3)x0R, . 解:命题(1)为全称命题,根据指数函数的性质可知,该命题为真命题. 命题(2)是特称命题,因为存在T0=,使|sin(x+T0)|=|sin x|,故该命题为真命题. 命题(3)是特称命题,因为对任意的xR,都有x2+10,故该命题为假命题.,
