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1、第二章 推理与证明 1.用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax2bxc0（a0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是（）A.假设a，b，c都是偶数B.假设a，b，c都不是偶数C.假设a，b，c中至多有一个是偶数D.假设a，b，c中至多有两个偶数解析：选B.对命题的结论“a，b，c中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a，b，c都不是偶数”.因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”.2.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中的“杨辉三角形”.123452 0132 0142 0152 01635794 0
2、274 0294 031812 16 8 0568 06020 2816 116该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A.2 01722 013B.2 01722 014C.2 01622 015 D.2 01622 014解析：选B.当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为331320；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为842421；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为2054522；当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为4868623.归纳推理，得当第一行为2 016个数时，最后一行仅一个数，为2 017
3、22 014.故选B.3.通过圆与球的类比，由结论“半径为r的圆的内接四边形中，正方形的面积最大，最大值为2r2”猜想关于球的相应结论为“半径为R的球的内接六面体中，”.（）A.长方体的体积最大，最大值为2R3B.正方体的体积最大，最大值为3R3C.长方体的体积最大，最大值为D.正方体的体积最大，最大值为解析：选D.类比可知半径为R的球的内接六面体中，正方体的体积最大，设其棱长为a，正方体体对角线的长度等于球的直径，即a2R，得a，体积Va3.故选D.4.已知a，b，c，d（0，）.求证acbd.证明：法一：（分析法）欲证acbd，只需证（acbd）2（a2b2）（c2d2），即证a2c22a
4、bcdb2d2a2c2b2d2a2d2b2c2，即证2abcda2d2b2c2，即证0（bcad）2，而a，b，c，d（0，），0（bcad）2显然成立，故原不等式成立.法二：（综合法）（a2b2）（c2d2）a2c2b2d2a2d2b2c2a2c2b2d22abcd（acbd）2，所以acbd.5.已知数列an满足关系式a1a（a0），an（n2，nN*），（1）用a表示a2，a3，a4；（2）猜想an的表达式（用a和n表示），并证明你的结论.解：（1）a2，a3，a4.（2）因为a1a，a2，猜想an.下面用数学归纳法证明：当n1时，因为a1a，所以当n1时结论正确.假设当nk（k1，kN*）时结论正确，即ak，所以当nk1时，ak1，所以当nk1时结论也正确.根据与可知命题对一切nN*都正确.3
