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1、本章整合,专题一,专题二,专题三,专题一 函数的单调性 研究图像连续的可导函数的单调性的一般方法步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求f(x),令f(x)=0,解此方程; (3)先把上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,再用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间; (4)确定f(x)在各个小开区间内的符号,根据f(x)的符号判断f(x)在每个相应区间内的增减性. 也可先求函数的定义域,再由f(x)0或f(x)0,求出递增区间或递减区间. 如果f(x)在定义区间内恒有f(x)=0,那么f(x)为常数函数.,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,专题一,
2、专题二,专题三,专题二 函数的极值 函数极值的判别方法: (1)定义法.若f(x)在x0点附近有定义,且对附近所有点x都有f(x)f(x0),则说f(x0)为极小值. (2)导数法.当函数f(x)在x0处连续可导时,如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值.,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,由f(x)=0,得x=1或x=a. 若00,函数f(x)是增加的; 当x(a,1)时,f(x)0,函数f(x)是增加的. 此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点.,专题一,专题二,专题三,若a1,则 当x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)
3、是增加的; 当x(1,a)时,f(x)0,函数f(x)是增加的. 此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点. 综上所述,当01时,x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点.,专题一,专题二,专题三,专题三 函数的最大、最小值 函数的最值与极值的区别与联系: (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值. (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值
4、则可能不止一个,也可能没有极值. (4)在解决实际应用问题时,如果函数在区间内只有一个极值点,那么要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.,专题一,专题二,专题三,应用1已知矩形的两个顶点位于x轴上,另外两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,求这个矩形面积最大时的边长. 提示:如图,设出|AD|,进而求出|AB|,表示出面积S,然后利用导数求最值.,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,1 2 3 4 5 6 7 8 9,1(2015湖南高考改编)设函数f(x)=ln(
5、1+x)-ln(1-x),则f(x)是( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增加的 B.奇函数,且在(0,1)上是减少的 C.偶函数,且在(0,1)上是增加的 D.偶函数,且在(0,1)上是减少的,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,2(2015陕西高考)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y=f(x)上,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,3(20
6、15课标全国高考)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是( ) A.(-,-1)(0,1) B.(-1,0)(1,+) C.(-,-1)(-1,0) D.(0,1)(1,+),10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0. 在区间(0,1)上,F(x)0; 在(1,+)上,F(x)0; 当x1时,f(x)0; 当x(-1,0)时,f(x)0的解集为(-,-1)(0,1).故选A. 答案:A,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,4.(2016全国高
7、考乙卷)函数y=2x2-e|x|在-2,2的图像大致为( ) 解析:特殊值验证法,取x=2,则y=24-e28-2.71820.6(0,1),排除A,B; 当0x2时,y=2x2-ex,则y=4x-ex, 由函数零点的判定可知,y=4x-ex在(0,2)内存在零点,即函数y=2x2-ex在(0,2)内有极值点,排除C,故选D. 答案:D,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,(1)若a=0,则f(x)的最大值为 ; (2)若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是 .,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9
8、,解析: 令g(x)=x3-3x, (x)=-2x.由g(x)=3x2-3=0,得x=1.可判断当x=1时,函数g(x)的极小值为-2;当x=-1时,函数g(x)的极大值为2,且g(x)与x轴的交点为(-,0),(0,0),( ,0).又g(x)与(x)图像的交点为A(-1,2),O(0,0),B(1,-2),故可作出函数g(x)与(x)的大致图像如图所示.,(1)当a=0时, 可知f(x)的最大值是f(-1)=2; (2)由图像知,当a-1时,f(x)有最大值f(-1)=2;当a-1时,f(x)无最大值,故a的取值范围是(-,-1). 答案:(1)2 (2)(-,-1),10,1 2 3 4
9、 5 6 7 8 9,7(2015课标全国高考改编)设函数f(x)=emx+x2-mx. (1)证明:f(x)在(-,0)递减,在(0,+)递增; (2)若对于任意x1,x2-1,1,都有|f(x1)-f(x2)|e-1,求m的取值范围. (1)证明:f(x)=m(emx-1)+2x. 若m0,则当x(-,0)时,emx-10,f(x)0. 若m0,f(x)0. 所以,f(x)在(-,0)递减,在(0,+)递增.,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e1时,由g(t)的单调性,g(m)0,即em-me-1;
10、 当m0,即e-m+me-1. 综上,m的取值范围是-1,1.,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,8.(2016四川高考)设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中aR. (1)讨论f(x)的单调性; (2)确定a的所有可能取值,使得f(x) -e1-x在区间(1,+)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,则s(x)=ex-1-1. 而当x1时,s(x)0, 所以s(x)在区间(1,+)内是增加的. 又由s(1)=0,有s(x)0,从而当x1时,g(x)0. 当a0,x1时,f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在区间(1,+)内恒
11、成立时,必有a0.,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,解(1)f(x)的定义域为(-,-2)(-2,+). 当且仅当x=0时,f(x)=0, 所以f(x)在(-,-2),(-2,+)是增加的. 因此当x(0,+)时,f(x)f(0)=-1. 所以(x-2)ex-(x+2),(x-2)ex+x+20.,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,10,1 2 3 4 5 6 7 8 9,10,10.(2016全国高考乙卷)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点. (1)求a的取值范围;
12、(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x20,则当x(-,1)时,f(x)0, 所以f(x)在(-,1)是减少的,在(1,+)是增加的. 故f(x)存在两个零点.,1 2 3 4 5 6 7 8 9,10,()若a0, 因此f(x)在(1,+)是增加的. 又当x1时,f(x)1, 故当x(1,ln(-2a)时,f(x)0. 因此f(x)在(1,ln(-2a)是减少的, 在(ln(-2a),+)是增加的. 又当x1时f(x)0,所以f(x)不存在两个零点. 综上,a的取值范围为(0,+).,1 2 3 4 5 6 7 8 9,10,(2)证明不妨设x1f(2-x2), 即f(2-x2)1时,g(x)1时,g(x)0. 从而g(x2)=f(2-x2)0,故x1+x22.,
