初中数学定义、定理、公理、公式证明汇编

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1、初中数学定义、定理、公理、公式直线、线段、射线 七上 p128 1. 过两点有且只有一条直线.（简：两点决定一条直线）七上 p132 2.两点之间线段最短 七上 p142 3.同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.七下 p44. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 七下 p65. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. （简：垂线段最短）平行线的判断七下 p131.平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 七下 p132.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行（简：平行于同一直线的两直线平行）七下 p143.同位角相等，两直线平行. 七下

2、p144.内错角相等，两直线平行. 七下 p155.同旁内角互补，两直线平行. 平行线的性质七下 p201.两直线平行，同位角相等. 2.两直线平行，内错角相等. 3.两直线平行，同旁内角互补. 三角形三边的关系七下 p641.三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三边.三角形角的关系七下 p731. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180.2.直角三角形的两个锐角互余.已知：Rt ,C=90ABC求证：A+ B=90证明：C=90，A+B+C=180A+B=90七下 p753.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 4. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

3、.全等三角形的性质、判定八上 p31.全等三角形的对应边、对应角相等.八上 p92.边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 八上 p113. 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 八上 p124.推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.八上 p75. 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等. 八上 p146. 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 角的平分线的性质、判定八上 p20性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.八上 p21判定：到一个角的两边

4、的距离相同的点，在这个角的平分线上.等腰三角形的性质八上 p501.等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角).2.推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 .已知： 中，AB=AC,AD 是BAC 的ABC角平分线求证：AD 平分 BC,ADBC.证明：AB=AC,AD 是BAC 的角平分线AD 平分 BC,ADBC.（三线合一）八上 p503.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.八上 p544.推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60 .等腰三角形判定八上 p521 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等

5、，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 八上 p542.三个角都相等的三角形是等边三角形. 八上 p543.有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形.线段垂直平分线的性质、判定八上 p331. 定理： 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 .八上 p332.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 3.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合. 轴对称、中心对称、 平移、旋转 八上 p301. 关于某条直线对称的两个图形是全等形 八上 p32八上 p322.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 八上 p333

6、.两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 八上 p324.若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 九上 p645.关于中心对称的两个图形是全等的. 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.九上 p646. 若两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称.九上 p57 p62 7.平移或旋转前后的图形是不变的.中心对称是旋转的特殊形式。八下 p65勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方，即 a2+b2=c2 .八下 p73

7、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c 有关系 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角八上 p55直角三角形中，如果一个锐角等于 30那么它所对的直角边等于斜边的一半.八下 p95 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 上 的 一 半 .n 边形、四边形的内角和、外角和七下 p821.四边形的内角和等于 360. 七下 p832.四边形的外角和等于 360七下 p823.多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（n-2）180.七下 p83.推论 任意多边的外角和等于 360.平行四边形性质八下 p841.平行四边形的对角相等. 八下 p842.平行四边形的对边

8、相等. abABCDDEACBE=,BEDCA=,BC过 点 作 交 延 长 线 与 点 ，四 边 形 是 平 行 四 边 形梯 形 是 等 腰 梯 形3.夹在两条平行线间的平行线段相等. 已知：直线 ab,线段 ABCD.求证：AB=CD.证明：ab, ABCD，四边形 ABDC 是平行四边形AB=CD八下 p854.平行四边形的对角线互相平分.平行四边形判定八下 p831.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.八下 p872.两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 八下 p873.两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 八下 p874.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 八下 p885.

9、 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 八下 p94矩形性质1. 矩形的四个角都是直角 .2. 矩形的对角线相等.矩形判定八下 p951.有一个角是直角的平行四边形是矩形.八下 p962.有三个角是直角的四边形是矩形.八下 p963. 对角线相等的平行四边形是矩形 .八下 p98菱形性质1、菱形的四条边都相等.2. 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3、菱形面积=对角线乘积的一半，即 abs2证明：菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形,且菱形对角线互相平分 设菱形对角线长为 x,y 则 S 菱形=41/2(x/2y/2)=1/2xy 所以菱形的面积等于其对角线乘积的一半

10、 八下 p99菱形判定1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.四边都相等的四边形是菱形 3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.八下 p100正方形性质1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 正方形判定八下 p1001.四个角都是直角，四条边都相等的四边形是正方形2.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.证明：对角线互相平分平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形菱形；对角线相等的平行四边形矩形形；菱形+矩形正方形八下 p107等腰梯形性质1.等腰梯形在同一底上的两个角相等.2.等腰梯形的两条对角线相等. 等腰梯形判定八

11、下 p1081.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形. 已知：梯形 ABCD 中，ADBC,AC=BD.求证：梯形 ABCD 是等腰梯形。证明： 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：梯形 ABCD 中，ADBCEF ，其中 E是 AB 中点。求证：F 是 CD 中点证明：连接 AC 交 EF 于点 GADBCEFAEG ABCE 是 AB 中点 12ABC G同理可证 FDAF 是 CD 中点 . 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边.（证法参照上题）八下 p89三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.梯

12、形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 ，S=Lh )(21bal已知：梯形 ABCD 中，ADBC, EF 是梯形的中位线，设 AD=a,BC=b,EF=l,梯形高为 h。求证： S=Lh)(21bal证明：连接 AF 交 BC 延长线与 G 点ABCDDF=CABG,D,1F,E=2()1G212ABGaFlabShLh:梯 形是 中 位 线是 的 中 位 线九下 p36 比例的基本性质 如果 a:b=c:d ad=bc 相似三角形判定九下 p421kOBACEDF1k1.定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.九下 p462.两角对应

13、相等，两三角形相似. 九下 p443.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 九下 p434.三边对应成比例，两三角形相似九下 p475.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.已知：RTABC 和 RTDEF ，AC 与 DF 为斜边，AB：DE=AC：DF求证：RTABC RTDEF:证明：由勾股定理得：BC= 2AC-BEF= 2-EFD设 AB：DE=AC ：DF=kAB:AC=DE:DF=k（AB:AC ）=（DE:DF）=kAB=kAC,DE=kDFBC= = 2-kAC21-EF= =DFBC:EF= ：2-2

14、-=AC:DF=AB： DE三边对应成比例RTABC RTDEF :相似三角形性质九下 p521. 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 2.相似三角形周长的比等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方. 九下 p59-604.位似图形是相似图形的特殊形式。位似比等于相似比。以三角形为例：已知： 与 是以 O 为位似中心ABCDEF的位似图形，位似比为 1：k求证： 与 的相似比为 1：k与 是以 O 为位似中心的位似图形理可得 ,， 与 的相ABCE:ABCEF似比为 1：k圆九上 p791.圆是到定点的距离等于定长的点的集合.九上 p902.圆的内部

15、可以看作是到圆心的距离小于半径.的点的集合. 3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合.九上 p794.同圆或等圆的半径相等. 九上 p925.不在同一直线上的三点确定一个圆。 垂径定理 九上 p81EF:,OABDC又 ,12()BACDOEFACEFOHL:在 Rt和 t中tt1.垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 .推论 1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 .弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 已知：AB 为圆 O 的一条弦，CE 垂直平分 AB，垂足为 D求证：CE 是过点 O，,:E证明：假设 CE 不过点 O 连接 OA,OD,OB过点 D 有两条直线与 AB 垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生矛盾，所以假设不成立CE 是过点 O，即 CE 是圆 O 的直径根据推论 1，可得 ,:AB:E平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 .已知：O 为圆心，CE 是直径， :C求证： ，AEB，D :AOCBOC.OA=OBAOB 为等腰三角形， CE 平分它的顶角。从“三线合一定理”， ，ECABD又AOE 180-AOC 180-BOCBOE. :AEB九上 p823.圆是以圆心为对称中心的中心对称