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1、函数的极值及其求法,由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论.,一、函数极值的定义,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,注,这个结论又称为Fermat定理,如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号,不可导点也可能是极值点,可疑极值点：驻点、不可导点,可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步 判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数
2、分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,列表讨论如下：,定理3(第二充分条件),证,例3,解,图形如下,注意:,例4,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,例5,证,（不易判明符号）,而且是一个最大值点，,例6,解,定理4 (判别法的推广),则:,数 , 且,1) 当 为偶数时,是极小点 ;,是极大点 .,2) 当 为奇数时,为极值点 , 且,不是极值点 .,当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 ,故结论正确 .,证:,利用 在 点的泰勒公式 ,可得,三、最值的求法,例7. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,例8,敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？,解,(1)建立敌我相距函数关系,敌我相距函数,得唯一驻点,思考题,下命题正确吗？,思考题解答,不正确,例,在1和1之间振荡,故命题不成立,
