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1、,第3章 控制系统时域分析,分析控制系统 第一步 建立模型（包括微分方程与传递函数） 第二步 分析控制系统性能,分析线性系统性能的方法包括 时域法 根轨迹法 频域法,1,时域法（时间响应分析法） 根据系统微分方程，以拉氏变换为数学工具，直接解出控制系统的时间响应，然后根据时间响应表达式及曲线分析系统性能。,时间响应 系统在输入信号和一定初始条件下，其输出（响应）随时间变化的过程； 或系统微分方程在一定初始条件下的解。,2,瞬态响应和稳态响应,瞬态响应：系统从初始状态到稳定状态的响应过程。 稳态响应：t 趋近于无穷大时系统的输出。,3,3.1 典型输入信号,控制系统的性能评价指标分为动态性能指标
2、和稳态性能指标。 系统输出响应不仅与系统本身的结构和参数有关，还与外加输入信号的形式有关。 为了对控制系统性能进行比较，一般在进行性能分析时，通常选择几种典型的输入信号。,4,单位阶跃函数,5,典型输入信号,单位脉冲函数,6,单位斜坡函数,单位加速度函数,7,正弦函数,8,微分方程,闭环传递函数,3.2 一阶系统的时域分析,用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。,9,3.2.1 一阶系统的数学模型,2. 一阶系统的单位阶跃响应 当系统的输入信号是单位阶跃函数时， 系统的输出称为单位阶跃响应。,10,11,一阶系统单位阶跃响应性能分析：,当时间t趋于无穷时，xtt衰减为零。 显然，一阶系统的单
3、位阶跃响应是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线。 该响应具有非振荡特性，所以称为非周期响应。 一阶系统的单位阶跃响应没有超调，无振荡，所以其性能指标主要是调整时间ts。,调整时间：从响应开始到进入稳态所经历的时间。 （或过渡过程时间）,时间常数T反映了一阶系统的固有特性，其值越小，系统的惯性就越小，系统的响应就越快。,12,3.2.3 一阶系统的冲激响应 当系统的输入信号是单位脉冲函数时， 系统的输出称为冲激响应。,13,一阶系统的冲激响应是一条单调下降的指数曲线,14,一阶系统单位脉冲响应性能分析：,3.3 二阶系统的阶跃响应,由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。,15,分析
4、二阶系统的暂态特性对于研究控制系统的暂态特性具有十分重要意义。 因为在实际工程中，常常把高阶系统降为二阶系统来进行处理。,二阶系统闭环传递函数的标准形式为：,二阶系统的标准结构图：,开环传递函数为：,16,二阶系统的特征方程式为：,得到系统的极点（特征根）为,3.3.1 典型二阶系统暂态响应,由于不同的阻尼比，对应于不同的响应，下面分几种情况分析二阶系统在不同阻尼比下的暂态响应。,17,1. 过阻尼（1）的情况,18,系统的极点（特征根）为两个不相等的负实根,两个负实根均位于S平面的左侧，并且都在实轴上。,对于单位阶跃输入，系统的输出量为,19,20,从上式可以看出，暂态响应曲线由稳态分量和两
5、个暂态分量组成。 两个暂态分量的衰减指数为s1，s2。 当1时，后一项的衰减速快，所以在近似分析其阻尼响应时，可以忽略后一项的影响，这样二阶系统的过阻尼暂态响应就类似于一阶系统。,2. 欠阻尼（01）的情况,21,系统的极点（特征根）为一对共轭复根,系统输入单位阶跃函数,输出量的拉式变换为,22,23,在欠阻尼的情况下，二阶系统的暂态响应为一个按指数衰减的简谐振动时间函数。稳态分量为1。,24,3. 临界阻尼（=1）的情况,25,系统的极点（特征根）为两个负重实根,系统的输出量为,二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的单调上升曲线。,4. 无阻尼（=0）的情况,二阶系统的阶跃响应为等幅振荡，其振
6、荡角频率为无阻尼固有频率。,26,系统的极点（特征根）为两个共轭纯虚根,二阶系统单位阶跃响应曲线,01 时，衰减振荡， 越小，振荡越剧烈；,= 0 时，等幅振荡，振荡无衰减；,=1，1 时，无振荡，响应曲线单调上升；,=0.40.8时，二阶系统有较好的瞬态特性。,27,3.3.2 二阶系统暂态响应的性能指标,二阶系统暂态响应的性能指标的定义及计算公式都是针对欠阻尼二阶系统的单位阶跃输入的响应的过渡过程的。 采用单位阶跃输入原因：产生阶跃输入比较容易，易求得对任何输入的响应。,28,在实际中，许多输入与阶跃输入相似，且阶跃输入是实际中最不利的输入情况；,D=2% 或 5%,29,欠阻尼二阶系统的
7、单位阶跃响应,29,上升时间tr-在暂态过程中第一次达到输出稳态值的时间。,30,31,峰值时间 tp-响应曲线达到第一个峰值所需的时间。,32,根据峰值时间定义，取,33,超调量只与阻尼比有关，增大，超调量减小。,超调量 -响应的最大偏离量与终值的百分比 。,34,调节时间 ts-输出与稳态值之间的偏差达到允许范围后不再超出的暂态过程时间。,35,N 仅与有关。越大，N越小，系统平稳性越好。,振荡次数 N-在调节时间ts内，响应曲线波动的次数。,36,解：系统传递函数为,37,5. 二阶系统计算举例,【例1】系统方框图如图，其中 ， 当有一单位阶跃信号作用于系统时， 求其性能指标,38,【例
8、2】图示机械系统，在质块m上施加xi(t)=8.9N的 阶跃力后，质块的时间响应xo(t)如图所示， 求系统的m、k、c 值。,39,传递函数,解：由图可知 输入：阶跃力,输出：位移 稳态输出：,40,3)求 c,2)求m,1)求k。由laplace变换的终值定理可知，输出的稳态值,而,41,【例3】有一位置随动系统，方框图为图a， 当系统输入单位阶跃函数时， 1）校核该系统的各参数是否满足要求？ 2）在原系统中增加一微分负反馈，如图b所示, 求微分反馈的时间常数。,（b）,42,（2）对系统b,系统b须满足,可知,解（1）将系统的闭环传递函数写成标准形式,故系统a不满足要求,43,3.5 系
9、统的代数稳定判据 稳定性是控制系统正常工作的首要条件。 分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的条件，是设计控制系统的基本任务之一。,3.5.1 稳定性及其充分必要条件 当系统受到扰动信号作用时，不论扰动作用使被控制量偏离平衡状态多严重，扰动消除后，偏差逐渐减小，并最终趋于零，系统恢复为原平衡状态，则认为该系统是稳定的； 反之，若偏差发散，则系统不稳定。,44,线性系统稳定的充要条件： 系统特征方程式的所有根（系统闭环传递函数极点）全部为负实部，即所有的特征根（极点）都分布在平面虚轴的左侧。,系统的稳定性取决于系统本身固有的特性，而与扰动信号无关，它取决于扰动消除后暂态分量的衰减与否。 系统暂态
10、分量衰减与否取决于闭环极点在S平面上的分布： 如果所有极点分布在S平面的左半平面，系统的暂态分量衰减，系统稳定； 如果有共轭极点分布在虚轴上，则系统做等幅振荡，处于临界稳定状态； 如果有极点分布在S平面的右半平面，则系统发散，系统不稳定。,45,3.5.2 劳斯稳定判据,E.J.Routh在1877年提出。,劳斯稳定判据，简称劳斯判据。 首先将系统特征方程式写出标准形式，利用标准特征方程式系数，通过计算法则，建立劳斯表；劳斯表的第一列的所有元素都为正值，表明系统特征方程式所有特征根均具有负实部，也是系统稳定的充要条件。 否则系统不稳定。,46,特征方程式的标准形式,把特征方程式的系数排列成Ro
11、uth表,第一列 第二列 第三列 第四列,Routh 表：,47,一直进行到其余的bi值全部等于0为止。 一直进行到其余的ci值全部等于0为止。 一直进行到第n行（s1行）为止。 第n+1行等于a0。,48,依据劳斯表，劳斯稳定判据分为3种情况。 1. 第一行系数全不为零的情况 如果Routh表中第一列各系数均为正数，则系统稳定； 如果第一列系数有负数，则系统不稳定， 同时第一列系数符号改变的次数等于特征方程根中具有正实部的根的个数。,49,【例1】设系统的特征方程式为 判断系统的稳定性。,D(s)=s4s319s211s300,第一列各元符号改变次数为2，因此 1.系统不稳定 2.系统有两个
12、具有正实部的特征根,解：建立该特征方程式的Routh表：,50,【例2】已知=0.2，n=86.6，K取何值时，系统能稳定?,系统开环传递函数：,系统闭环传递函数：,51,特征方程：,Routh表：,已知=0.2，n=86.6,52,由系统稳定的充要条件，有 7500K0，亦即K0 显然，这就是由必要条件所得的结果。 (2) ，亦即K34.6 故能使系统稳定的参数K的取值范围为0K34.6,53,解:根据特征方程的各项系数，列出Routh表,根据Routh表，由系统稳定的充要条件，有： （1）+10，即-1； （2）(+)0，即0，-； （3）-10，即1。 所以，使系统稳定的、的取值范围为0
13、，1,54,2. 某行的第一列元素为零，其余元素不全为零,如果Routh表中任意一行的第一列元素为零，其后各元素均不为0或部分地不为0，则在计算下一行第一列元素时,必将趋于无穷大，Routh表的计算将无法进行。 解决方法：可将第一列元素用正无穷小量0代替, 然后按照普通方法继续计算Routh表各项元素值。,55,【例4】系统特征方程 S3-3s+2=0，判别系统的稳定性。,第一列各元符号改变次数为2，因此 1.系统不稳定 2.系统有两个具有正实部的特征根,解：建立特征方程式的Routh表,改变符号一次,改变符号一次,56,3.劳斯表中的某行所有元素值均为零的情况 在这种情况下，往往系统是不稳定
14、的。 解决方法 （1）由零行的上一行的各项系数构造辅助方程式； （2）将辅助方程式对s求导，用求导得到的各项系数分别代替零行的元素值； （3） 继续计算Routh表的其余各元素。,57,【例5】系统特征方程 D(s)=s5+2s4+24S3+48s2-25s-50=0 用Routh表判别系统的稳定性。,解：根据特征方程的系数，列出Routh表,由第二行各元素求得辅助方程 F(s)=2s4+48s2-50=0 取F(s)对s的导数，得新方程 8s3+96s=0 S3行中的各元素可用此方程中的系数代替，继续进行运算，最后得到Routh表 。,58,第一列各元符号改变次数为1，因此 1.系统不稳定
15、2.系统有1个具有正实部的特征根,改变符号一次,59,3.5.3 胡尔维茨判据,设系统的特征方程式为,构造胡尔维茨行列式D的方法：行列式的位数为nn。在主对角线上，从a1开始依次写入特征方程式的系数，直至an为止。然后在每一列内从上到下按下表递减的顺序写入其它系数，最后用零补齐。,60,胡尔维茨稳定判据：特征方程式的所有根在S平面左半平面的充要条件是胡尔维茨行列式的各阶主子式均大于零，即,当n较大时，胡尔维茨判据的计算量激增，所以它通常只用于n6的系统。,61,【例】系统特征方程式为D(s)=4S3+10s2+5s+8=0 用胡尔维茨判据判别系统稳定是否。,解：列胡尔维茨行列式,其各阶主子式为
16、,由胡尔维茨判据可知该系统稳定。,62,63,在系统满足稳定条件下，通常输出量的期望值与稳态值之间存在着误差，称为系统稳态误差。 稳态误差是衡量控制系统稳态精度的重要指标。 本节讨论系统结构及其参数、输入信号形式与干扰因素对系统稳态误差的影响。 为了分析方便，把系统的稳态误差分为给定稳态误差和扰动稳态误差。,3.6 稳态误差,64,1. 给定稳态误差 对于随动系统，给定量（输入量）是随时间变化的信号，通常按系统的设计要求，输出量应以一定的精度跟随给定量的变化，因此给定稳态误差成为衡量随动系统稳态品质的指标之一。 控制系统的典型结构如图：,3.6.1 给定稳态误差与误差系数,65,1）稳态误差的定义 系统的稳态误差有两种定义 （1）输入端误差定义,这个误差是可以测量的，但是并不一定反映实际值与期望值的偏差。,（2）输出端误差定义
