《2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第22讲同角三角函数的基本关系与诱导公式含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第22讲同角三角函数的基本关系与诱导公式含答案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 22 讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1理解并掌握正弦、余弦及正切的诱导公式和同角三角函数的基本关系式 2能运用诱导公式及同角三角函数关系进行有关化简和求值 知识梳理 1同角三角函数的基本关系式 平方关系： sin2cos21 ； 商数关系： tan . sin cos 2诱导公式 公式一：(其中 kZ) sin(2k) sin ，cos(2k) cos ， tan(2k) tan . 公式二： sin() sin ，cos() cos ， tan() tan . 公式三： sin() sin ，cos() cos ， tan() tan . 公式四： sin() sin ，cos(
2、) cos ， tan() tan . 公式五： sin( ) cos ，cos( ) sin . 2 2 公式六： sin( ) cos ，cos( ) sin . 2 2 1同角关系的常用变形： (sin cos )212sin cos 1sin 2. (sin cos )2(sin cos )22. (sin cos )2(sin cos )24sin cos . 2诱导公式的记忆 (1)2k (kZ)，2 的三角函数等于 的同名三角函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号 (2) ， 的正弦(余弦)函数值等于 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 看成锐角时 2 3 2 原函数
3、值的符号 可采用口诀“奇变偶不变，符号看象限”进行记忆 热身练习 1已知 sin ， ，则 tan (A) 2 5 5 2 A2 B2 C. D 1 2 1 2 因为 cos ， 1sin2 5 5 所以 tan 2. sin cos 2 是第四象限角，tan ，则 sin (D) 5 12 A. B 1 5 1 5 C. D 5 13 5 13 (方法一)因为 tan ，所以， 5 12 sin cos 5 12 所以 cos sin ， 12 5 代入 sin2cos21 得 sin ， 5 13 又 是第四象限角，所以 sin . 5 13 (方法二)因为 tan ，且 是第四象限角，
4、5 12 所以可设 y5，x12，所以 r13， x2y2 所以 sin . y r 5 13 3(2017全国卷)已知 sin cos ，则 sin 2(A) 4 3 A B 7 9 2 9 C. D. 2 9 7 9 因为 sin cos ， 4 3 所以(sin cos )212sin cos 1sin 2， 16 9 所以 sin 2 . 7 9 4若 sin() ，则 cos( )(A) 4 5 3 2 A B 4 5 3 5 C. D. 4 5 3 5 因为 sin()sin ， 4 5 所以 cos()sin . 3 2 4 5 5(2016四川卷)sin 750 . 1 2 s
5、in 750sin(7503602)sin 30 . 1 2 诱导公式的应用 (1)已知角 终边上一点 P(4,3)，则 的值为 . cos 2sin cos 11 2 sin9 2 (2)cos()的值为_ 17 3 (1)原式tan . sin sin sin cos 根据三角函数的定义得 tan . 3 4 故原式的值为 . 3 4 (2)cos()coscos(22) 17 3 17 3 5 3 coscos(2 )cos . 5 3 3 3 1 2 (1) (2) 3 4 1 2 (1)应用诱导公式时，需要准确记忆诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”是 关键 (2)求任意角的三角
6、函数时，一般用诱导公式将其变换为锐角的三角函数进行求解其一般步 骤是“去负脱周化锐” 1(1)(2018深圳一模)已知 sin( x) ，则 sin(x)sin2(x)的值为(A) 6 1 2 19 6 2 3 A. B. 1 4 3 4 C D 1 4 1 2 (2)sin()的值为 . 17 6 1 2 (1)(方法一：采用角的配凑) 原式sin3( x)sin2 ( x) 6 2 6 sin( x)cos2( x) 6 6 sin( x)1sin2( x) 6 6 1 . 1 2 1 4 1 4 (方法二：采用换元法) 设 x，则 sin ，x ， 6 1 2 6 所以原式sin(3)s
7、in2( ) 2 sin cos2sin 1sin2 1 . 1 2 1 4 1 4 (2)sin()sinsin(2 ) 17 6 17 6 5 6 sin sin( )sin . 5 6 6 6 1 2 同角三角关系的应用 已知 tan ，则： 1 2 (1)_； sin 3cos sin cos (2)sin2sin cos 2_. (1) . sin 3cos sin cos tan 3 tan 1 1 23 1 21 5 3 (2) sin2sin cos 2 3sin2sin cos 2cos2 3sin2sin cos 2cos2 sin2cos2 . 3tan2tan 2 ta
8、n21 3 1 22 1 22 1 221 13 5 (1) (2) 5 3 13 5 (1)齐次式(或可化为齐次式)常转化为正切进行处理 (2)注意“1”的运用，如 1sin2cos2 或 1(sin2cos2)2等 2(2016全国卷)若 tan ，则 cos 2(D) 1 3 A B 4 5 1 5 C. D. 1 5 4 5 因为 cos 2， cos2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 又因为 tan ，所以 cos 2 . 1 3 11 9 11 9 4 5 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用 已知 sin cos ( 0，cos 0，cos 0， 所以 s
9、in cos ， 7 5 联立得 sin ，cos ， 4 5 3 5 所以 tan . 4 3 1应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的判断，求任意角的三角函数值的问题， 都可通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，其步骤是“去负脱周化锐” ，从而求出 值来 2掌握一些特殊角的三角函数值，要做到“见角知值，见值知角” ，如： 角 030456090120150180270 角 的 弧度数 0 6 4 3 2 2 3 5 6 3 2 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 1 2 01 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 3 2 10 tan 0 3 31 3不 存 在 3 3 30 不 存 在 3.同角关系的主要应用 (1)已知一个角的某个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值要特别注意符号的选取 (2)关于 sin ，cos 的齐次式可化为正切处理 (3)对于 sin cos ，sin cos ，sin cos ，借助方程思想可知一求二
