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1、24.1.2 垂径定理,问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,活动一,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为
2、什么？,O,A,B,C,D,E,活 动 二,（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2） 线段： AE=BE,垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.,符号语言,图形语言,（1）如何证明？,探究：,已知：如图，CD是O的直径，AB为弦，且AE=BE.,证明：连接OA，OB，则OA=OB, AE=BE, CDAB,垂径定理推论,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。, CDAB, CD是直径，,AE=BE,O,A,B,C,D,E,（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。,
3、1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,练习,解：,答：O的半径为5cm.,在Rt AOE 中,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又 AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,课堂讨论,根据已知条件进行推导： 过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。,（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。,（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平
4、分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。,只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.,1.判断：,( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧.,( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧.,( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.,( )(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.,1.已知P为O内一点，且OP2cm，如果O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于 .,2.过O内一点M的最长弦长为4厘米，最短弦长为2厘米，则OM的长是多少？,O,M,A,2、如图，点P是半径为5cm的O内一点，且OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦
5、= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长度为整数的共有（ ） A、2条 b、3条 C、4条 D、5条,巩固：,A,O,C,D,5,4,P,3,B,3、如图，点A、B是O上两点，AB=8,点P是O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OEAP于E,OFBP于F,EF= 。,4,已知O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。,E,E,D,D,练习,1.过o内一点M的最长的弦长为10,最短弦长为8,那么o的半径是,2.已知o的弦AB=6,直径CD=10,且ABCD,那么C到AB的距离等于,3.已知O的弦AB=4,圆心O到AB的中点C的距
6、离为1,那么O的半径为,4.如图,在O中弦ABAC, OMAB,ONAC,垂足分别为M, N,且OM=2,0N=3,则AB= , AC= ,OA=,B,A,M,C,O,N,5,1或9,6,4,Cm,归纳： 已知：直径，弦长，弦心距，拱高四者知其二，即可根据勾股定理求出另外的两个量。,问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,解得：R279（m）,解决求赵州桥拱半径的问题,在R
7、tOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,OA2=AD2+OD2,实践应用,某圆直径是10,内有两条平行弦,长度分别为6和8 求这两条平行弦间的距离.,船能过拱桥吗?,例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,船能过拱桥吗,解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高. 由题设得,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R3.9（m）.,在RtONH中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥.,已知A、B、C是O上三点，且AB=AC，圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘米，求AB长。,D,D,
