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1、第五章 测量误差的基本知识,5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 等精度直接观测平差,测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如： 1、对同一量多次观测，其观测值不相同。 2、 观测值之和不等于理论值： 三角形 +180 闭合水准 h0,一、测量误差的来源,等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。,1. 仪器误差,2. 观测误差,3. 外界条件的影响,观测条件,粗差：因读错、记错、测错造成的错误。,二、 测量误差的分类,在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性： 误差的绝对值为一常量，或按一定的
2、规律变化； 误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化； 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。,1、系统误差 误差的大小、符号相同或按 一定的规律变化。,例 ：钢尺尺长、温度、倾斜改正 水准仪 i角 经纬仪 c角、i角 注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。,消除和削弱的方法: （1）校正仪器； （2）观测值加改正数； （3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。,在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列的观测，如果观测结果的差异在正负号及数值上，都没有表现出一致的倾向， 即没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。,2、偶然误差,偶然误差的特性,真误差,观测值与理论值之差,绝对值相等的正、
3、负误差出现的机会相等， 可相互抵消；,同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平 均值，随着观测次数的增加而趋近于零， 即：,在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性） 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性、区间性）,（抵偿性）,根据偶然误差的四个特性推导出误差概率分布曲线的方程式为：,有偶然误差统计结果可以用较直观的频率直方图来表示：,误差处理的原则：,1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。,2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵 消和削弱。,3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据 减少其影响。,精度：又称精密度，指在对某量进行多
4、 次观测中，各观测值之间的离散 程度。,一、 中误差,定义 在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1， l2，ln，偶然误差（真误差）1，2，n，则中误差m的定义为：,式中,式中：,例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。,解：第一组观测值的中误差： 第二组观测值的中误差： ，说明第一组的精度高于第二组的精度。,说明：中误差越小，观测精度越高,定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。,二、容许误差（极限误差）,从统计意义上来讲，中误差与真误差之间有 一定的联系。真误差落在区间 内的概率：,测量
5、中通常取2倍或3倍中误差作为偶然 误差的容许误差； 即容=2m 或容=3m 。,极限误差的作用： 区别误差和错误的界限。,同理：,偶然误差的绝对值大于中误差9的有14个，占总数的35%，绝对值大于两倍中误差18 的只有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。,中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。,相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相 应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式 来表示，称其为相对（中）误差。即:,三、 相对误差,一般情况 :角度、高差的误差用m表示， 量距误差用K表示。,例 已知：D1=100m, m1=0.01m，D2=200m, m2=0.01m，求：
6、K1, K2 解：,概念 误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值 函数中误差的关系的定律。,函数形式,倍数函数 和差函数 线性函数 一般函数,设非线性函数的一般式为： 式中： 为独立观测值； 为独立观测值的中误差。 求函数的全微分，并用“”替代“d”，得,一、 一般函数,式中： 是函数F对 的偏导 数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：,误差传播定律的一般形式,例已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水平距离D 解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差,二、 线性函数的误差传播定律,设线性函数为：,式中 为独立的直接观测值，
7、 为常数， 相应的 观测值的中误差为 。,1.列出观测值函数的表达式： 2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式： 式中， 是用观测值代入求得的值。,求观测值函数中误差的步骤：,三、 运用误差传播定律的步骤,3、根据误差传播率计算观测值函数中误差： 注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观 测值必须是独立观测值。,误差传播定的几个主要公式：,设在相同的观测条件下对未知量观测了n 次，观测值为l1、l2ln，中误差为m1、 m2 mn，则其算术平均值（最或然值、似真 值）L 为：,一、 求最或是值,L,设未知量的真值为x，可写出观测值的真误差公式为 （i=1，2，n） 将上
8、式相加得 或 故,推导过程：,由偶然误差第四特性知道，当观测次数 无限增多时， 即 （算术平均值） 说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。,因为 式中，1n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。 设平均值的中误差为mL，则有,二、 算术平均值中误差mL,由此可知，算术平均值的中误差为观 测值的中误差的 倍。,故,三、精度评定,第一公式,第二公式 （白塞尔公式）,条件：观测值真值 x已知,条件：观测值真值 x 未知， 算术平均值L已知,其中 观测值改正数，,证明：,（i=1，2，3，n）,两式相加，有,即,解：,（i=1，2，3，n）,设 则,将上列等式两端各自平方，并求其和，则,将 代入上式，则,故,（PQ）,又因,由于 为偶然误差，它们的非自乘积 仍具有偶然误差的性质，根据偶然误差的特性，即,例题：设用经纬仪测量某个角6测回，观测之列于 表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。,算术平均值L中误差是：,
