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1、Nanjing University of Technology,第八章 弯曲刚度, 计算梁弯曲变形的积分法, 弯曲变形计算的必要性,摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。,桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。,但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。,例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。, 挠曲线近似微分方程,挠曲线, 挠曲线,规定：向上挠度为正，逆时针转角为正,挠度y（f）：横截面形心处的铅垂位移,截面转角：横截面绕中性轴转过的角度,挠曲线方程：,转角方程
2、：, 梁的挠曲线近似微分方程,曲线 y=f(x)的曲率为,梁纯弯曲时中性层的曲率：,例题：已知梁的EI为常数，今欲使梁的挠曲线在xl/3处出现一拐点，则比值m1/m2为多少？,解：由梁的挠曲线近似微分方程,知，在梁挠曲线的拐点处有：,从弯矩图可以看出：,拐点：曲线凹与凸 的分界点,式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定, 积分法求弯曲变形,积分求解过程积分法,转角方程,挠曲线方程,没有约束无法确定位移, 确定积分常数的边界条件,连续光滑曲线，铰支座作用截面处,连续光滑曲线，固定端支座处,光滑连续条件：,P,C,例题,求：梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。,已知：左端固定、右端
3、自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为q ，梁的弯曲刚度为EI 、长度为l。q、EI 、l均已知。,解：,建立Oxw坐标系,建立梁的弯矩方程,将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得,积分后，得到,固定端处的约束条件为：,代入上两式，可得：,故而，最终的挠度与转角方程写为：,从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。,求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。,已知：简支梁受力如图所示。FP、EI、l均为已知。,例题,解： 确定梁约束力,分为AB和BC两段建立弯矩方程,AB段,BC段,小挠度微分方程：,积分得,其中，C1、D1、C2、D2为积分常数,在支座A、C两处挠度应为零，即
4、,x0， w10; xl， w20,AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即,xl/4， w1w2 ; xl/4，1=2,共有四个边界条件，可解出四个待定系数,D1D2 =0,梁的转角和挠度方程为：,AB段,BC段,可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为,例题: 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和ymax。,解：,由边界条件：,得：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,A,B,截面转角和挠度极值的判定方法？,例题: 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定ma
5、x和ymax。,解：由对称性，只考虑半跨梁ACD,由连续条件:,由边界条件：,由对称条件：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例题: 图示变截面梁悬臂梁，试用积分法求A端的挠度,解：,AC段,CB段,由边界条件：,由连续条件：,得：,AC段挠度方程为：,令,得, 确定约束力,判断是否需要分段以及分几段, 分段建立挠度微分方程, 微分方程的积分, 利用约束条件和连续条件确定积分常数, 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角,积分法小结, 分段写出弯矩方程, 叠加法确定梁的挠度与转角,在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下，载荷与它所引起的变形呈线性关系。 当梁上同
6、时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。,当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。,叠加法主要针对多个载荷同时作用时的载荷叠加，但在一般的分析过程中，也会碰到结构变形的叠加问题！,例题： 用叠加法求fc、A、B,解：,将梁上的各载荷分别引起的位移叠加, 注意逐段刚化法：,变形后：ABAB BCBC,变形后AB部分为曲线， 但BC部分仍为直线。,C点的位移为：wc,
7、自由偏转量,例题：求外伸梁C点的位移。,L,a,C,A,B,P,解：,将梁各部分分别 引起的位移叠加,刚化EI,BC部分引起的位移fc1、c1,AB部分引起的位移fc2、 c2,C,A,B,P,刚化EI,B2,B2,例题：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。,解：,例题：求图示梁B、D两处的挠度 fB、 fD,解：,qa：B处约束力,例题：用叠加法求图示变截面梁B、C截面的挠度 fB 、 fC 。,P,EI,2EI,A,B,C,解：,例题：用叠加法求图示梁端的转角和挠度。,P,A,B,C,q,解：,例题：图示梁处为弹性支座，弹簧刚 度k，求C端挠度fC。,q,EI,k,2,A,B,C,解：
8、 梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为,弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为,C点总挠度为,已知：悬臂梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。,求：C截面的挠度wC和转角C,例题：,& 对间断性分布载荷,解：将梁上的载荷变成有表可查的情形，如图所示,再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形,两种情形下自由端的挠度和转角分别为,将简单载荷作用的结果叠加, 弯曲刚度设计,对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。 例如齿轮轴；机床主轴；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。, 刚度计算的工程意义, 刚度设计,刚度条件,为了保证构件的刚度，通常将变形限制在一
9、定的允许范围内。,弯曲变形：,限制其最大挠度和最大转角不超过允许值,梁的刚度设计准则：,上述二式中f和分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。,已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角 =0.5。,试求：根据刚度要求确定该轴的直径d。,B,例 题,解：,B,由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为,根据设计要求，有,其中，的单位为rad（弧度），而的单位为（）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径,例题：某船厂用45a号工字钢制成吊车大梁，材料的许用应
10、力=140MPa，弹性模量E=200GPa，跨度L=10m，荷载P=50KN，梁的挠度许用值 f=L/500。考虑自重，试校核梁的强度和刚度。,解：,考虑自重，相当于梁上加一均布荷载q,查表,梁跨中点C挠度最大,梁满足强度和刚度要求, 提高弯曲刚度的措施,影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。 1、增大梁的抗弯刚度EI 2、减小跨度或增加支承 3、改变加载方式和支座位置, 简单的静不定梁求解,3-3=0,4-3=1,532,633,用“多余”反力代替“多余”约束，就得到一个形式上的静定梁
11、，该梁称为原静不定梁的相当系统，亦称基本静定系。,基本静定系可不止一个,求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变形协调与物理等三方面，这就是求解静不定问题的基本方法。,例题：求图示静不定梁的支反力。,q,A,B,l,解法一：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：,解法二：将支座A对截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：,例题：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求：(1) 二梁接触处的压力；(2) 加固前后AB梁最大弯矩的比值；(3) 加固前后B点挠度的比值。,P,A,B,C,D,a,a,解：（1）变形协调条件为：,（2）,（3）,自行完成,例题：梁ABC由AB、BC两段组成，两段梁的EI相同。试绘制剪力图与弯矩图。,q,A,B,C,a,a,解：变形协调条件为：,其余自行完成！,例题：图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆的抗拉刚度为EA，已知P、L、a。求CD杆所受的拉力。,解：变形协调条件为：,
