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1、3 0 中学数学研究2 0 0 8 年第3 期 关于原函数与其导函数对称性联系的探究 湖南省会同县第一中学( 4 1 8 3 0 0 )于先金 引例H 1 曲线) ，= 以髫) = 一去3 + 知2 + 石， 问曲线上是否存在一点P ，使得Y = 八菇) 的图象关 于点P 中心对称? 若存在，请求出点P 坐标，并给出 证明；若不存在，请说明理由 宋试梨先生在讲解这道例题时，对学生给出的 一种解法进行分析后提出“三次函数的对称中心与 其导函数的对称轴是否有着必然的联系呢? ”经 探究，笔者得到下面几个定理 定理1若可导函数八菇) 的导函掰( 省) 的图 象关于直线菇= m 对称，则原函数八戈)
2、的图象关于 点D ( m ， 八龙。) + 八2 m 一菇。) 2 ) ( 戈。为定义域内的 任一值) 中心对称 证：因为厂( 石) 的图象关于直线戈= m 对称，则 ，( 菇) = f ( 2 m 一菇) 所以矿7 ( 髫) d x = 旷7 ( 2 m 一 戈) d x ，且口 ( 菇) = 一八2 m 一戈) + c 当算= 菇。时，C = 八戈。) + 八2 m 一) ，所以八戈) + 八2 m 一菇) = 八菇。) + 八2 m 一并。) 以戈) 的图象关于点D 中心对称 推论1若可导函数以茗) 的导函掰( 并) 的图 象关于直线菇= 7 , 对称，且以菇) 在茗= 7 , 处有意义
3、， 则原函数以菇) 的图象关于点( m 以7 , ) ) 中心对称 推论2三次函数以戈) = o 戈3 + 6 戈2 + 织+ d ( 口 0 ) 的图象关于E ( 一b 3 a 以一b 3 a ) ) 点中心对 称 证：因为厂( 戈) = 3 a x 2 + 2 b x + C 的对称轴为戈 = 一b 3 a ，且八算) 在戈= 一b 3 a 有意义，所以由推论 1 可知推论2 成立 引例的解：因为一b 3 a = 1 以1 ) = 4 3 ，所以 由推论2 可知以z ) 的图象上存在一点P ( 1 ，4 3 ) ， 使八茹) 的图象关于点P 中心对称 定理2若可导函数八戈) 的导函掰( 石
4、) 的图 象关于点( 7 , ，0 ) 中心对称，并且在定义域内存在一 点使得八戈。) = 八2 m 一戈。) ，则原函数八搿) 的图 象关于直线戈= 7 , 对称 证：因材( 并) 的图象关于点( r t , ，0 ) 中心对称， 贝厂( 菇) = 一厂( 2 m 一菇) 所以扩( 菇) d x = 一I 扩( 2 r a x ) d x ，即八戈) = 八2 m 一菇) + c 当戈= 算。时，C = 八算o ) 一八2 m 一石o ) = 0 ，所以八z ) = 八2 m 一髫) 以戈) 的图象关于直线戈= m 对称 而当f ( 菇) 的图象关于点( I T I , ，1 7 , ) (
5、 n 0 ) 中心 对称时，原函数以菇) 的图象不关于直线戈= I n 对 称因为由f7 ( ) = 2 n - f ( 2 m 一髫) 可得扩( 并) d x = I 2 n f ( 2 m 一石) d x ，即八z ) = 2 n x + 以2 m J 菇) + c 若以菇) 的图象关于直线戈= m 对称，则尺戈) = 八2 m 一菇) ，所以2 n x + C = 0 ，从而1 7 , = 0 且C = 0 ，这与1 7 , 0 相矛盾 定理3 若可导函数以省) 的图象关于点( m ， 1 1 , ) 中心对称，则导函数f7 ( 石) 的图象关于直线戈= m 对称 证：因为“省) 的图象
6、关于点( m ，1 1 , ) 中心对称， 则八搿) = 2 n 一以2 m 一茗) 。根据复合函数导数的性 质，两边求导可得f ( 搿) = f ( 2 m 一石) ，所以f ( 戈) 的图象关于直线z = m 对称 定理4若可导函数八石) 的图象关于直线茗= m 对称，则导函数f ( 戈) 的图象关于点( m ，0 ) 中心 对称 证：因为厂( 戈) 的图象关于直线z = m 对称，则 以戈) = 八2 m 一石) 根据复合函数导数的性质，两边 求导可得f ( 算) = f ( 2 m 一戈) ，所以f ( z ) 图象关 于点( m ，0 ) 中心对称 参考文献 1 宋试梨学生的质疑是教
7、师不断进步的思想源泉 J 中学数学 研究( 广州) ，2 0 0 6 ( 1 0 ) 作者介绍：于先金( 1 9 6 2 一) ，湖南会同 人学士中学高级教师，湖南省特级教师，发表论 文5 0 多篇 关于原函数与其导函数对称性联系的探究关于原函数与其导函数对称性联系的探究 作者：于先金 作者单位：湖南省会同县第一中学,418300 刊名： 中学数学研究 英文刊名：STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG 年，卷(期)：2008，“(3) 被引用次数：0次 参考文献(1条)参考文献(1条) 1.宋试梨 学生的质疑是教师不断进步的思想源泉 2006(10) 本文链接：http:/ 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：71ab0a21-335d-4944-8b52-9dcc01036ce2 下载时间：2010年8月8日
