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1、中学生数学 2010 年 5 月上 第 393 期( 高中) 网址: zx ss. chinajournal . net . cn 电子邮箱: zxsschinajournal. net. cn 数 学 史 话 “牟合方盖”与中国古代球体积推导 陕西师范大学数学与信息科学学院( 710000) 胡小妮 球体是一种完美的几何体 , 上至行星天 体,下至乒乓、 足球 ,这些无时无刻不在给我们 展示着球体的魅力. 对于它的研究 , 不仅仅是 天文学家的爱好 , 也是数学家们脑海和笔尖思 索的焦点. 作为我国古代最重要的一部数学经 典的九章算术就记载了相关球体的知识, 但 是其对于球体体积的计算公式却
2、是错误的. 我 国古代大数学家刘徽在公元263 年前后为其作 注解时发现了这个错误. 刘徽摒弃了九章算 术中错误的球体体积计算思路, 而是创造性 地构造了“牟合方盖” ,巧妙地给出了球体体积 计算的新思路 . 这种计算球体体积的方法, 在 数学史上得到了很高的评价 . 比如“牟合方盖” 被列为世界数学名题范畴 【 1】; 中国古代数学“关 于牟合方盖 及球体问题的解决 , 实可与阿基 米德的工作在方法的独创性和结论的精确性 上相媲美”【 2】. 1 . 刘徽和“牟合方盖” 据史料研究【 3】,刘徽, 中国古代数学家 ,魏 、 晋间人, 刘徽有两部传世著作 , 即九章算术 注( 简称九章注) ,
3、 和海岛算经 . 在重实用 轻理论的中国古代数学界, 刘徽可谓一位伟大 的数学理论家, 他潜心研究九章算术并为其 撰写注释文字 . 在理论上 , 它创造了许多数学 原理, 严加证明 ,应用于各种算法中 , 从而形成 了中国传统数学理论体系. 他以严肃 、认真客 观的精神 , 判别粗糙 、错误的论述, 创造精细、 正确的观点 ,以理服人,为后人树立了良好的 榜样和学风. “牟合方盖”和正确球体体积计算 思想的得出就是一个鲜活的例子. 九章算术中记录的球体积公式是 V = 9 16d 3 ,刘徽发现了这个公式的推导错误 ,为了 得到正确的球体体积计算公式, 刘徽创造了几 何模型“牟合方盖”. 具体
4、说来 : “联立方棊八枚, 皆令立方一寸 , 积之为立 方二寸. 规之为圆囷 , 径二寸 , 高二寸 . 又复横 圆之 ,则其形有似牟合方盖矣 .” 图 1 用现 代语 言 描述 即: 以棱长为一寸的立 方体八枚, 合之则是棱 长为二寸的立方体 . 又 以过立方体中之二正圆 柱垂直相贯并内切于立 图 2 方体之相应侧面, 如图 1. 则二内切于立方体的 两垂直相贯的正圆柱的 共同部分 ,即刘徽所指之 “牟合方盖” , 如图 2. 从 语言角度来说,“牟”即相 等,“盖”即伞; 从外形看 ,其像上下相合的两把 伞,故取名为“牟合方盖” . 2. “牟合方盖”的功用 “牟合方盖”是一种特殊的立体,
5、 要发挥它 的功用,我们还必须知道一个原理 ,即“刘徽原 ( 下转第 27 页) ( 上接第 25 页) ( a b 0) 是平面内的动点 P 到两个定点A1( - a, 0) ,A2( a,0) ( a 0) 的斜率之积等于定值-b 2 a 2( a b) 点的轨迹( 加上两点 A1( - a,0) , A2( a,0) ) . 同理可证( 2) 、 ( 3) 成立. 定理一与定理二成立实现了圆与有心圆 锥曲线统一的定义 , 即圆与有心圆锥曲线是平 面内的动点 P 与两个定点 A1( -a, 0) , A2( a , 0) ( a 0) 的斜率之积等于定值的轨迹( 加上 A1, A2点) .
6、( 责审 周春荔) 26 中学生数学 2010 年 5 月上 第 393 期( 高中) 网址: zx ss. chinajournal . net . cn 电子邮箱: zxsschinajournal. net. cn 数 学 史 话 ( 上接第 26 页) 理” . 所谓“刘徽原理”即“同高的两立体 , 在等 高处各作一与底平行的截面, 其截面面积之比 为一常数, 则此二立体体积之比也等于这一常 数. ”【 3】通过利用“刘徽原理”可以导出“牟合方 盖”和内切于其中的球体的体积之比 . 用平面去 截“牟合方盖”, “牟合方盖”的截面是一个正方 形,而与内切球的截面则是正方形的内切圆. 不
7、难得到正方形与其内切圆面积之比为 4,进 而由“刘徽原理”可知:“牟合方盖”与其内切球的 体积之比为 4. 即 V牟 V球= 4. 从而,如果能够计算出“牟合方盖”的体积就 能得到球体的体积计算公式. 但是到此 ,刘徽说: “欲露形措意,惧失正理. 敢不阙疑, 以俟能 言者”【 3】. 刘徽没有给出“牟合方盖”的计算 方法,而是希望能有后来人解决这个问题 . 3 . 祖暅的努力 而这个后来人的出现却是在遥远的 200 年 之后, 他就是中国数学史上著名的祖冲之之 子 祖暅. 祖暅接过了刘徽的“火炬” ,最终得 到了球体的体积公式. 不过他是在刘徽的研究基 础之上,利用“牟合方盖”以及祖暅原理(
8、 对于两 个等高立体,若用平行于底面的任意平面截得的 截面面积总相等 ,则这个立体的体积也相等) 证 明了方盖差( 立方之内牟合方盖之外部分) 与一 个等底等高的正四棱锥体积相等. 最终导出了 “牟合方盖”的体积计算公式 .具体说来: 祖暅取了立方体与内切的“牟合方盖”的 1 8 来做研究 . 设在高为 h 处的一个平面截两个 立体,截面如图 3 阴影部分所示,与该立方体等 底等高的四棱锥的截面是正方形,其面积是 h 2 , 方盖差上的截面是拐尺形 ,其面积计算如下: 图 3 在 Rt ABO 中, OB =r( 为内接球的半 径) , AB 2 =r 2 -h 2 ,则可以得出 : 拐形面积
9、 =r 2 -AB2=r2- ( r2-h2) =h2,显然等于正四棱锥 截面面积 . 从而由祖暅原理可知 , 正四棱锥体 积与方盖差的体积相等. 即方盖差的体积为 1 3 r3. 从而可知 V牟=( r3-1 3 r3) 8=16 3 r3. 再 根据“刘徽原理” ,由 V牟V球=4,可得 V球 =4 3 r 3 . 最终大功告成 ! 4. “祖暅原理”与“刘祖原理” 人教版的数学教材在简单几何体的体积 知识块中曾经介绍过“祖暅原理” , 但对于其一 般情形的“刘徽原理”就不见得有几个人知道 了. 但是不能否认的是刘徽所做的贡献, 所以 许多数学史家认为不应该将这个原理归功于 祖暅一人 ,而
10、应该将“祖暅原理”冠名为“刘祖 原理”更为妥当 . 值得一提的是 , 西方有个与 “刘徽原理”基本一致的原理叫“卡瓦列里原 理” , 是由伽利略的学生卡瓦列里得出的 ,不过 这个要比刘徽整整晚一千多年 . 新课标对于简单几何体的表面积和体积 的计算公式并没有要求学生掌握推导 , 甚至对 于复杂的体积公式不要求记忆 【 4】. 所以一些课 本中已经鲜见这些经典的思想火花了 , 而是由 一些现成的公式就掩盖了前人的“火热思考” , 但是从开拓学生视野和增强民族自豪感的角 度来讲,这不能不说是一种损失啊 . 参考文献 【 1】 高希尧, 数海钩沉 世界数学名题 选辑 M ,陕西科学技术出版社,1982, P42 【 2】 ( 美) H 伊夫斯著. 欧阳绛译 . 数学 史概论 M . 太原: 山西人民出版社 ,1986 【 3】 李仲来主编,中国数学史研究( 白尚 恕文集) ,北京大学出版集团 . 2008 年 7月 ,P118 【 4】 数学课程标准研制组, 普通高中数 学课程标准( 实验) 解读 M . 江苏出版社 , 2008 . 8( 责审 周春荔) 27
