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1、第三章 线性方程组1 用消元法解下列线性方程组： 解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有因为，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为，解得其中为任意常数。2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有 因为，所以原方程无解。 3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有，因为，所以方程组有惟一解，且其解为。4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有，即原方程组德同解方程组为，由此可解得，其中是任意常数。5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有因为，所以原方程组无解。6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有 ，即原方程组的同解方程组为，解之得，其中是任意常数。 2.把向量表成的线性组合.。解 1）设有线性关系代入所
2、给向量，可得线性方程组，解之，得 ，因此。 2）同理可得。 3.证明：如果向量组线性无关，而线性相关，则向量可由线性表出.证 由题设，可以找到不全为零的数使，显然.事实上，若，而不全为零，使成立，这与线性无关的假设矛盾，即证.故，即向量可由线性表出。4.，证明：如果，那么线性无关。证 设有线性关系，代入分量，可得方程组，由于，故齐次线性方程组只有零解，从而线性无关。5.设是互不相同的数，.证明：是线性无关的。证 设有线性关系，则， 1）当时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即，所以方程组有惟一的零解，这就是说线性无关。2）当时，令则由上面1)的证明可知是线性
3、无关的。而是延长的向量，所以也线性无关。6.设线性无关，证明也线性无关。证 设由线性关系，则。再由题设知线性无关，所以，解得，所以线性无关。7.已知的秩为，证明：中任意个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证 设是中任意个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量都可由线性表出就可以了。事实上，向量组是线性相关的，否则原向量组的秩大于，矛盾.这说明可由线性表出，再由的任意性，即证。8.设的秩为，是中的个向量，使得中每个向量都可被它们线性表出，证明：是的一个极大线性无关组。证 由题设知与等价，所以的秩与的秩相等，且等于.又因为线性无关，故而是的一个极大线性无关组。9.证明：一个向量组的任何
4、一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组。证 将所给向量组用（）表示，它的一个线性无关向量组用（）表示。若向量组（）中每一个向量都可由向量组（）线性表出，那么向量组（）就是向量组（）的极大线性无关组.否则，向量组（）至少有一个向量不能由向量组（）线性表出，此时将添加到向量组（）中去，得到向量组（），且向量组（）是线性无关的。进而，再检查向量组（）中向量是否皆可由向量组（）线性表出.若还不能，再把不能由向量组（）线性表出的向量添加到向量组（）中去，得到向量组（）。继续这样下去，因为向量组（）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（）的一个极大线性无关组。10.设向量组为， ，。1） 证明：
5、线性无关。2） 把扩充成一极大线性无关组。证 1）由于的对应分量不成比例，因而线性无关。2）因为，且由，可解得，所以线性无关。再令，代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即线性相关，所以可由线性表出。这意味着就是原向量组的一个极大线性无关组。 注 此题也可将排成的矩阵，再通过列初等变换化为行阶梯形或行最简形，然后得到相应结论。11.用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：，解 1）设对矩阵作行初等变换，可得，所以的秩为3，且即为所求极大线性无关组。3） 同理可得为所求极大线性无关组，且向量组的秩为3。12.证明：如果向量组（）可以由向量组（
6、）线性表出，那么（）的秩不超过（）的秩。证 由题设，向量组（）的极大线性无关组也可由向量组（）的极大线性无关组线性表出，即证向量组（）的秩不超过向量组（）的秩。13.设是一组维向量，已知单位向量可被它们线性表出，证明：线性无关。证 设的秩为，而的秩为。由题设及上题结果知，从而，故线性无关。14.设是一组维向量，证明：线性无关的充分必要条件是任一维向量都可被它们线性表出。证 必要性.设线性无关，但是个维向量必线性相关，于是对任意维向量，它必可由线性表出。充分性 任意维向量可由线性表出，特别单位向量可由线性表出，于是由上题结果，即证线性无关。15.证明：方程组对任何都有解的充分必要条件是系数行列式
7、。证 充分性.由克拉默来姆法则即证。下证必要性.记，则原方程组可表示为，由题设知，任意向量都可由线性表出，因此由上题结果可知线性无关。进而，下述线性关系，仅有惟一零解，故必须有，即证。16.已知与有相同的秩，证明：与等价。证 由于与有相同的秩，因此它们的极大线性无关组所含向量个数必定相等.这样的极大线性无关组也必为的极大线性无关组，从而它们有相同的极大线性无关组。另一方面，因为它们分别与极大线性无关组等价，所以它们一定等价。17.设，证明：与具有相同的秩。证 只要证明两向量组等价即可.由题设，知可由线性表出。现在把这些等式统统加起来，可得，于是，即证也可由线性表出，从而向量组与等价。18.计算
8、下列矩阵的秩：1） 2）3） 4）5）。解 1）秩为4；2）秩为3；3）秩为2；4）秩为3；5）秩为5。19.讨论取什么值时，下列方程有解，并求解。1） 2） 3）解 1）因为方程组的系数行列式，所以当时，原方程组与方程同解，故原方程组有无穷多解，且其解为，其中为任意常数。当时，原方程组无解。当且时，原方程组有惟一解。且。2）因为方程组的系数行列式，所以当时，原方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩分别为2与3，所以无解。当时，的秩为2，的秩为3，故原方程组也无解。当，且时，方程组有唯一解。3) 因为方程组的系数行列式，所以当时，即且时，方程组有惟一解，且为，当时1o若，这时系数矩阵的秩为2，而它的增
9、广矩阵的秩为3，故原方程组无解。2o若，这时增广矩阵所以当时，的秩为3，的秩为，原方程组无解。而当时，原方程组有无穷多个解，且其解为，其中为任意常数。20.求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用它表出全部解：1）2） 3）4）解 1）对方程组的系数矩阵作行初等变换，有因为，所以原方程组的基础解中含有3个线性无关的解向量，且原方程组的同解方程组为，于是只要令 即得，同理，令 即得， 即得，则为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为，其中为任意常数。2）对方程组的系数矩阵作行初等变换，有因为，所以原方程组的基础解系中含有2个线性无关的解向量，且原方程组的同解方程组为，若令，得， ，
10、得，则为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为，其中为任意常数。 3）对方程组的系数矩阵作行初等变换，有又因为所以，方程组的基础解系含有一个线性无关的解向量，且原方程组的同解方程组为。于是令，可得，则即为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为，其中为任意常数。4） 对方程组的系数矩阵作行初等变换，有又应为所以，方程组的基础解系含有2个线性无关大解向量，且原方程组的同解方程组为，得， ，得，则为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为，其中为任意常数。21.用导出组的基础解系表出第1题1）、4）、6）题中线性方程组的全部解，其中 解 1）对原方程组的增广矩
11、阵作初等行变换，可得，所以方程组有无穷多解，且其导出组的基础解系中含有1个线性无关的解向量，又因为原方程组的同解方程组为，若令，代入原方程组的导出组，可解得，于是导出组的基础解系为，且原方程组的一个特解为，故园方程组的全部解为，其中为任意常数。 4）对原齐次线性方程组的系数矩阵作初等变换，可得，所以方程组有无穷多解，且其基础解系中含有2个线性无关的解向量，又因为原方程组的同解方程组为，若令，得，再令，得，于是导出组的基础解系为，故原方程组的全部解为，其中为任意常数。 6）对原方程组的增广矩阵作初等变换，可得，所以方程组有无穷多个解，且其导出组的基础解系中含有1个线性无关的解向量，又因为原方程组
12、的同解方程组为，若令，代入原方程组的导出组，可解得，于是导出组的基础解系为，且原方程组的一个特解为，故原方程组的全部解为，其中为任意常数。 22.取什么值时，线性方程组有解？在有解的情形，求一般解。 解 对方程组的增广矩阵行作初等变换：。于是，只有且时，增广矩阵的秩与系数的秩都为2，此时原方程组有解；当且时，原方程组都无解。当，时，原方程组与方程组，同解，且其一般解为，其中为任意常数。23.设证明：此方程组有解的充分必要条件为，在有解的情形，求出它的一般解。证 对方程组的增广矩阵作行初等变换，有此时的秩为4，的秩为4的充分必要条件是，因此，原方程组有解的充分必要条件是。其次，当时，原方程组与方
13、程组与，同解，所以它的一般解为，其中为任意常数。24.证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系。证 由于两个等价的线性无关向量组所含向量个数是相等的，不妨设是齐次线性方程组的一个基础解系，且与它等价，则可由线性表出，从而也是原齐次线性方程组的解。又由题设知线性无关，且可由线性表出，从而齐次线性方程组的任一个解也都可以由线性表出，即证也是方程组的一个基础解系。25.设齐次方程组，的系数矩阵的秩为，证明：方程组的任意个线性无关的解都是它的一个基础解系。证 由于方程组的系数矩阵的秩为，所以它的基础解系所含线性无关解向量的个数为。设是方程组的一个基础解系，是方程组的任意个线性无关的解向量，则向量组，的秩仍为，且是它的一个极大线性无关组，同理也是它的一个极大线性无关组，所以与等价，再由上题即证。26.证明：如果是一线性方程组的解，那么，（其中）也是一个解。证 设线性方程组为由题设，是该方程组的个解，现将代入方程组，得，所以仍是方程组的一个解，即证。27.多项式与在取什么值时有公共根？解 因为与的结式为，故当时，有，从而与有公共根。此外，由还可求得的3个根，它们皆可使与有公共根。28.解下列联立方程：解 1）由结式，可解得下1，1，2，-1四个根。当时，代入原方程组，可
