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1、第六章 线性空间1.设证明：。证 任取由得所以即证。又因故。再证第二式，任取或但因此无论哪 一种情形，都有此即。但所以。2.证明，。证 则在后一情形，于是所以，由此得。反之，若，则 在前一情形，因此故得在后一情形，因而，得故于是。若。在前一情形X， 。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A是一个nn实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和
2、数量乘法；5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： ；7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：；8） 全体正实数r，加法与数量乘法定义为：，；解 1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如 。2）令V=f（A）|f（x）为实数多项式，A是nn实矩阵因为 f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x）所以 f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的18条，故v构成线性空间。 3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的18条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩
3、阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有 ，A+B仍是反对称矩阵。 ，所以kA是反对称矩阵。故反对称矩阵的全体构成线性空间。4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a，-b）。对于数乘：即。，即，所以，所给集合构成线性空间。6）否，因为。7）否，因为，所给集合不满足线性空间的定义。8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足所以，所给集合构成线性空间。4 在线性空间中，证明：1） 2）。证 1）。2）因为。5 证
4、明：在实函数空间中，1，式线性相关的。证 因为，所以1，式线性相关的。6 如果是线性空间中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。证 若有不全为零的数使，不妨设则，这说明的公因式也是的因式，即有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以线性无关。7 在中，求向量在基下的坐标。设1）；2）。解 1）设有线性关系，则，可得在基下的坐标为。2）设有线性关系，则，可得在基下的坐标为。8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P上的空间P；2）P中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间,其中A=。解 1)
5、的基是且。2) i)令，即其余元素均为零,则 是对称矩阵所成线性空间 的一组基,所以是维的。ii)令，即其余元素均为零,则是反对称矩阵所成线性空间的一组基, 所以它是维的。iii) 是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是维的。3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数,可经2线性表出，即.,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。4)因为,所以，于是， 而。9.在中,求由基，到基的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐标。设 ，在下的坐标； ，在下的坐标； ，在下的坐标；解 （）=（）=（）A这里A即为所求由基到的过渡矩阵，将上式两边右乘得，得 （）=（），于是 （）
6、=（），所以在基下的坐标为 ，这里=。令则（）=()=()A，（）=()=()B，将()=（）代入上式,得（）=（）B，这里=,B=，且即为所求由基到基的过渡矩阵，进而有=()=（） =（），所以在下的坐标为。同，同理可得A=B=则所求由到的过渡矩阵为B=。再令+b+c+d，即，由上式可解得在下的坐标为下的坐标为 。10继第9题1）求一非零向量，它在基与下有相同的坐标。解 设在两基下的坐标为，则 =（）=（）。又因为 （）=（）=（）A，所以 =A（A - E）=0。又 ，于是只要令 ，解此方程组得 = (c为任意非零常数)，取c为某个非零常数，则所求为 。11.证明：实数域作为它自身的线性空
7、间与第3题8）中的空间同构。证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。12.设都是线性空间的子空间，且，证明：如果的维数与的维数相等，那么。证 设dim()=r，则由基的扩充定理，可找到的一组基，因，且它们的唯数相等，故，也是的一组基，所以=。13。1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）；2）当A=E时，求C（A）；3）当A=时，求C（A）的维数和一组基。证 1）设与A可交换的矩阵的集合记为C(A)。若B,D属于C(A)，可得 A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A， 故 B+DC(A)。若k是一数，B，可得 A（kB）=k(AB)=k(BA)=(kB)A
8、，所以kBC(A)。故C(A)构成子空间。2）当A=E时，C（A）=。3）设与A可交换的矩阵为B=（），则B只能是对角矩阵，故维数为n,即为它的一组基。14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。解 若记 A=，并设B=与A可交换，即AB=BA，则SB=BS。且由SB=，BS=，可是，又 ，即，该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。取自由未知量a,，并令b=1，其余为0，得=3,a=3;令=1，其余为0，得=3,a=;令=1，其余为0，得=1,a=1;令=1，其余为0，得=0,a=;令=1，其余为0，得=1,a=1;则与A可交换的矩阵为 B=，其中,a,可经b,表示,
9、所求子空间的一组基为, , , ，且维数为5。15如果 且，证明：L=L。证 由，知所以a可经线性表出，即可经线性表出，同理，也可经线性表出。故L=L。16在中，求由下面向量组生成的子空间的基与维数。设1） ， 。 解 1）的一个极大线性无关组，因此为L的一组基，且的维数是3。 2）的一个极大线性无关组为，故是L的一组基，且维数为2。17在中，由齐次方程组确定的解空间的基与维数。解 对系数矩阵作行初等变换，有 所以解空间的维数是2，它的一组基为 ，。18.求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间的交的基与维数，设 1） ； 2） ； 3） 。解 1）设所求交向量 ， 则有 ， 即 ， 可算得，
10、 且 ， 因此方程组的解空间维数为1，故交的维数也为1。任取一非零解，得一组基 ， 所以它们的交L是一维的，就是其一组基。 2）设所求交向量 ， 则有 ， 因方程组的系数行列式不等于0，故方程组只有零解，即从而 交的维数为0。 3）设所求交向量为 ， 即 ，由 知解空间是一维的，因此交的维数是1。令，可得，因此交向量就是一组基。19 设与分别是齐次方程组的解空间，证明：证 由于的解空间是你n1维的，其基为而由 知其解空间是1维的，令则其基为且即为的一组基，从而又，故 。20 证明：如果那么 。证 由题设知 因为 所以 ， 又因为 所以 故， 即证。 21. 证明：每一个n维线性空间都可以表示成
11、n个一维子空间的直和。 证 设是n维线性空间V的一组基。显然都是V的一维子空间，且 V ，又因为 ， 故 。 22证明：和是直和的充分必要条件是。 证 必要性是显然的。这是因为，所以 。 充分性 设不是直和，那么0向量还有一个分解， 其中。在零分解式中，设最后一个不为0的向量是 则 ，即 ，因此，这与矛盾，充分性得证。23. 再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量构成一个三维线性空间R。1） 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间？2） 设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间问能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来;3）就用该三维空间的
12、例子来说明，若U,V,X,Y是子空间，满足U+VX，XY，是否一定有。解 1）终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点在不过原点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。2) ；（1）直线与重合时，是一维子空间；（2）与不重合时，时二维子空间。 ：（1） 重合时，构成一维子空间；（2） 在同一平面上时，构成二维子空间；（3） 不在同一平面上时，构成三维子空间。3） 令过原点的两条不同直线，分别构成一维子空间U和V，XUV是二维子空间，在，决定的平面上，过原点的另一条不与，相同的直线构成一维子空间Y，显然因此，故 并不成立。二补充题参考解答11）证明：在Px中，多项式 （i1，2，n）是一组基，其中是互不相同的数；2)在1）中，取是全体n次单位根，求由基1，到基的过渡矩阵。证 1）设 ，将代入上式 ，得 ， 于是0。同理，将分别代入，可得， 所以线性无关。而Px是n维的，故是Px的一组基。2）取为全体单位根则 ， ， .， 故所求过渡矩阵为。2设是n维线性空间V的一组基，A是一个ns矩阵，且，证明：的维数等于A的秩。证 只需证的极大线性无关组所含向量的个数等于A的秩。设，且。不失一般性，可设A的前r列是极大线性无关组，由条件得，可证构成，的一个极大线性方程组。事实上，设，于是得，因为线性无关，所以，该方程组的系数矩阵秩为故方程组只有零解，于是线性
