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1、 二次函数【知识清单】一、网络框架二、清单梳理1、一般的，形如的函数叫二次函数。例如等都是二次函数。注意：系数不能为零，可以为零。2、二次函数的三种解析式（表达式）一般式：顶点式：，顶点坐标为交点式：3、二次函数的图像位置与系数之间的关系：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当时，开口方向向上；当时，开口方向向下。决定开口大小，当越大，则抛物线的开口越小；当越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。：决定抛物线与轴交点的位置。当时，抛物线与轴交点在轴正半轴（即轴上方）；当时，抛物线与轴交点在轴负半轴（即轴下方）；当时，抛物线过原点。反之，也成立。 ：共同决定抛物线对称轴的位置。当时，对称轴在轴右边
2、；当时，对称轴在轴左边；当（即当时）对称轴为轴。反之，也成立。特别：当时，有；当，有。反之也成立。4、二次函数的图像可由抛物线向上（向下），向左（向右）平移而得到。具体为：当时，抛物线向右平移个单位；当时，抛物线向左平移个单位，得到；当时，抛物线再向上平移个单位，当时，抛物线再向下平移个单位，而得到的图像。5、抛物线与一元二次方程的关系：若抛物线与轴有两个交点，则一元二次方程有两个不相等的实根。若抛物线与轴有一个交点，则一元二次方程有两个相等的实根（即一根）。若抛物线与轴无交点，则一元二次方程没有实根。6、二次函数的图像与性质关系式图像形状抛物线顶点坐标对称轴增减性在图像对称轴左侧，即或，随的
3、增大而减小；在图像对称轴右侧，即或，随的增大而增大；在图像对称轴左侧，即或，随的增大而增大；在图像对称轴右侧，即或，随的增大而减小；最大值最小值当时，当时，当时，当时，【考点解析】考点一：二次函数的概念【例1】下列函数中是二次函数的是（ ） 【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，中符合的形式，所以是二次函数，分别是一次函数和反比例函数，中右边不是整式，显然不是二次函数。【答案】【例2】已知函数是二次函数，则。【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且的最高次数为”。故有，解得，综上所述，取1。【答案】1【针对训练】1、 若函数是二次函数，则该函数的表达式为。考点二
4、：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例1】已知点在二次函数的图象上，则的值是（） 【解析】因为点在二次函数的图象上，所以将点代入二次函数中，可以得出，则可得，【答案】【例2】（2011，泰安）若二次函数的与的部分对应值如下表，则当时，的值为（） 【解析】设二次函数的解析式为，因为当或时，由抛物线的对称性可知，所以，把代入得，所以二次函数的解析式为，当时，。 【答案】【针对训练】1、 (2002年太原)过,三点的抛物线的顶点坐标是（） 2、无论为何实数，二次函数的图象总是过定点（ ） 【例3】（2010，石家庄一模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点为，且过点，则与的函数关系
5、式为（） 【解析】设这个二次函数的关系式为，将代入得，解得：，故这个二次函数的关系式是，【答案】【针对训练】1、 二次函数的顶点为，则二次函数的解析式为_.【例4】二次函数过点，则二次函数的解析式为_。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数的关系）【例1】（2012，兰州）已知二次函数有最小值1，则、的大小关系为（ ） 不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数有最小值1，所以，所以。【答案】【针对训练】 1、二次函数的最小值是 。2、（2013，兰州）二次函数的图象的顶点坐标是（ ） 3、抛物线的顶点坐标是（ ） 【例2】（2012，兰州）抛物线可以由抛物线平移得
6、到，则下列平移过程正确的是（ ）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位先向左平移2个单位，再向下平移3个单位先向右平移2个单位，再向下平移3个单位先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线向左平移2个单位可得到抛物线，再向下平移3个单位可得到抛物线。【答案】【针对训练】 1、（2012，南京）已知下列函数：（1）；（2）；（3）。其中，图象通过平移可以得到函数的图象的有 （填写所有正确选项的序号）。2、（2009，上海）将抛物线向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。3、将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） 4、将抛
7、物线向下平移3个单位，在向左平移4个单位得到抛物线，则原抛物线的顶点坐标是_。【例3】（2013，长沙）二次函数的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ） 【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，与轴有两个交点，所以，且当时，。显然选项A、B、C都正确，只有选项D错误。 【答案】【例4】（2011，山西）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）方程的两根是，当时，随的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知，故A错误；因对称轴为直线，所以，故C错误；由图象可知当时，随的增大而增大，故D错误
8、；由二次函数的对称性可知B选项正确，【答案】【针对训练】 1、（2013，呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（ ） 2、（2011，重庆）已知抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） 3、在反比例函数中，当时，随的增大而减小，则二次函数的图象大致是（ ） 4、如图所示，二次函数的图像经过，且与轴的交点的横坐标分别为，其中，下列结论：；，其中正确的选项有_。【例5】已知关于的函数，求当时函数的最大值和最小值【针对训练】1、 已知函数，试求当的最大值和最小值2、 已知函数，试求当的最大值和最小值【例6】已知二次函数其中满足和，则该二次
9、函数的对称轴是直线_。【针对训练】1、 已知是二次函数的图像上的两点，则当时，二次函数的值是_.【例7】已知二次函数，当时，的值随值的增大而增大，则实数的取值范围是_。【针对训练】1、 若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是_。讲到这儿了考点四：二次函数的实际应用【例1】（2011，重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格（元）与月份（，且取整数）之间的函数关系如下表：月份123456789价格（元/件）560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势
10、趋缓，10至12月每件配件的原材料价格（元）与月份（1012，且取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出与之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出与之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量（万件）与月份满足函数关系式（19，且取整数）10至12月的销售量（万件）与月份满足函数关系式（1012，且取整数）求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12
11、月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出的整数值（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）【考点】涉及函数模型，把实际问题转化为函数，用函数的观点来解决问题，综合性比较强，一般还涉及不等式，最值问题。【解析】（1）把表格（1）中任意2点的坐标代入直线解析式可得的解析式把（10，730）（12，750）代入直线解析式可得的解析式，
12、；（2）分情况探讨得：19时，利润=（售价各种成本）；1012时，利润=（售价各种成本）；并求得相应的最大利润即可；（3）根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可。解：（1）设，则，解得，（19，且取整数）；设，则，解得，（1012，且取整数）；（2）设去年第月的利润为元19，且取整数时=4时，最大=450元；1012，且取整数时，=10时，最大=361元；（3）去年12月的销售量为0.112+2.9=1.7（万件），今年原材料价格为：750+60=810（元）今年人力成本为：50（1+20%）=60元51000（1+）81060301.7（10.1）=1700，设，整理得，解得9401更接近于9409，0.1，9.8，10或980，1.7（10.1）1，10【答案】（1）（1012，且取整数）；（2）=10时，最大=361元；（3）10【针对训练】1、（2013湖北孝感）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数。（1）求y与x满足的函数关系
