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1、1,第六章 定积分及其应用,6.1定积分的概念 6.2定积分的性质 6.3微积分学基本定理 6.4定积分的计算方法 6.5广义积分 6.6定积分的应用,2,第六章 定积分及其应用,4.如何计算定积分和应用定积分?,前一章讨论了已知一个函数的导数, 如何求原来的函数, 这样一个积分学的基本问题不定积分.,这一章将讨论积分学的另一个基本问题定积分.,1.什么是定积分?,2.定积分有哪些性质?,3.定积分与不定积分有何关系?,本章的主要问题有:,3,一.引例(曲边梯形的面积),定义1. 在直角坐标系中,由一条连续曲线 y=(x)和三条直线x = a、 x = b和y = 0 (x轴) 所围成的图形,
2、 称为曲边梯形, 如右图 AabBA (与直边梯形AabB的区别) .,o,x,y,y=0,y=(x),x=a,x=b,a,b,B,A,6.1 定积分的概念,当y = (x) 0 时, 曲边梯形AabB的面积怎么求呢? 中 学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积, 下面利用矩形的 面积来求曲边梯形AabB的面积.,问题:,4,从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH 的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积.,o,x,y,y=(x),a,b,B,A,x+x,x,H,C,D,E,F,y,因而, 如果把区间a, b任意地划分为n个小区间, 并在每一个区间上任取一点, 再以该点的高来近似代替该小区间上窄曲边
3、梯形的高, 从而每个窄曲边梯形就可近似地,分析:问题的难度在于曲边梯形AabB的高对整个区间a, b 来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间 a, b的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;,但因(x)连续, 从而当 x 0时, y0,故可将此区间的高近似看为一个常量,5,视为一个小窄矩形, 而且全部窄矩形的面积之和也可作为曲边梯形面积的近似值.,要想得精确值, 只需区间a, b的分法无限细密(即每个小区间的长度 x 0)时, 全部窄矩形的面积之和的极限一定是曲边梯形面积的精确值.,从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:,I.化整为零(或分割)任意划分,(如右图)用分点
4、,o,x,y,y=(x),将区间a,b任意地划分为n个小区间,6,o,x,y,y=(x),记第 i 个小区间的长度为,过每个分点作垂直于x轴的直线, 将曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形(如上图).,若用S表示曲边梯形的面积, 表示第i个窄曲边梯形(阴影 部分)的面积, 则有,II.近似代替(或以直代曲)任意取点,在每个小区间,上任取一点,以 为高、以小区间 的长度为底,7,则该窄矩形的面积,为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加, 就得曲边梯形的面积的近似值, 即,III.求和、取极限,作窄矩形 (如右图).,近似等于 , 即,记各小区间的最大长度为,当分点数n无限增大且各小区间的最大
5、长度,对上述和式取极限就得曲边梯形的面积, 即,8,二.定积分的定义,由引例知, 把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结 为一个特殊和式的极限. 这种和式的极限应用极广, 可解 决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题, 将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象,定义1.设(x)在a, b上有定义, 点,在每个小区间,上任取一点,就有定积分的定义:,将区间a, b任意地划分为n个小区间; 每个小区间,的长度为,作和式,9,若当 时, 有确定的极限值 I, 且 I 与区间a, b的,分法和 的取法无关,则称函数(x)在区间a, b上可积,并称此极限值I为(x)在区间a, b上的定积分,
6、 记为,称为积分和.,其中(x)为被积函数, (x)d x称为被积表达式, x 称为积分 变量, a称为积分下限, b称为积分上限, a, b称为积分区,即,注1.若(x)在区间a, b上可积,则定积分,的字母无关, 即,它仅与被积函数(x)和积分区间a, b有关, 而与积分变量,C 常数,10,注2. 极限过程 ,既保证了分点个数无限增多( ), 又保证了区间分割无限细密(即所有小区间的长度都趋于0).,因此, 对于可积函数(x), 若要用定义来计算,若只有 则不能保证区间分割无限细密.,注3. (x)在区间a, b上可积的充要条件是极限,且此极限值与a, b的分法和 的取法无关.,则可选择
7、较为方便的区间分法和 的取法, 使得计算简便.,11,三.函数可积的条件,由注3知, 每个函数的可积性与积分和的极限的存在 性等价, 但求积分和的极限, 却非常困难.,定理1. 若(x)在区间a, b 上无界, 则(x)在a, b上必不可积.,问题:,下面给出函数可积的几个定理:,其等价命题为 “可积函数必有界” 函数可积的必要 条件. 以下三个定理是函数可积的充分条件.,定理2.若(x)在区间a, b上连续, 则(x)在a, b上可积.,定理3.若(x)在区间a, b上有界且只有有限个间断点, 则 (x)在a, b上可积.,12,注4.有了函数可积的充分条件, 就可借助定义1来,例1 利用定
8、积分定义计算定积分,可将区间0, 4 特殊划分并特殊取点.,定理4.若(x)在区间a, b上单调有界, 则(x)在a, b上可积.,解 因(x)=2x+3 在 0, 4 上连续,.将某些极限问题转换为一个定积分.,.计算给定的定积分的值;,故它在a,b上可积, 从而,不妨在区间0, 4 内插入 n 个等分点,分成 n 个小区间, 取右端点为,13,例2 将,表示成定积分,在区间0, 1上可积,14,用等分分点法所得的积分和为,15,习题提示:P213.4.(2),16,注5.前面的讨论中已默认区间a, b中的a b呢?为方便作如下规定:,且ab时, 定积分,从而可消除对定积分上下限的大小限制.
9、,.若a=b, 则,.若ab, 则,四.定积分的几何意义,表示一个在 x 轴上方的曲边梯形的面积;,由定义1知, 当连续函数,17,且 a b时, 定积分,当(x)在a, b上有正有负时, 定积分,形的面积与 x 轴下方的曲边梯形 的面积之差(即面积的代数和).,表示一个在 x 轴下方的曲边梯形的 面积的相反数.,的值就是 x 轴上方的曲边梯,当,18,例3 利用定积分的几何意义, 计算曲线 y = sinx、直线,表示由曲线y = sinx 、直线x=0 、 x=2,及 x 轴所围成的曲边梯形的面积, 即,解 根据题意,所求曲边梯形的面积如右图.,x=0 、 x=2及x轴所围成的曲边梯形的面积.,利用定积分的几何意义知,
