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1、【MeiWei_81-优质适用文档】 【MeiWei_81-优质适用文档】 求函数值域的十 种方法 一一直直接接法法 （观观察察法法） ：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 1求函数 1yx 的值域。 【解析】 0x ， 11x ，函数 1yx 的值域为1, ) 。 【练习】 1求下列函数的值域： 32( 11)yxx ； xxf42)( ； 1 x x y ； 11 2 xy ， 2 , 1 , 0 , 1x 。 4 【参考答案】 1,5 ；2, ) ；( ,1)(1,) ； 1,0,3 。 4 二二配配方方法法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2
2、( )( )( )F xafxbf xc 的函数的值域问题，均可使用配方法。 例 2求函数 2 42yxx （ 1,1x ）的值域。 【解析】 22 42(2)6yxxx 。 11x ， 321x ， 2 1(2)9x ， 2 3(2)65x ， 35y 。 函数 2 42yxx （ 1,1x ）的值域为 3,5 。 例 3求函数 )4, 0(42 2 xxxy 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)(4)( 2 xfxxxf 配方得： )4, 0(4)2()( 2 xxxf 利用二次函数的相关知识得 4, 0)(xf ，从而得出： 0,2y 。 说明
3、：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题 为： 0)(xf 。 例 4若 , 42yx0, 0yx ，试求 yxlglg 的最大值。 【分析与解】本题可看成第一象限内动点 ( , )P x y 在直线 42yx 上滑动时函数 xyyxlglglg 的最 大值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得： 2 (0,4),(0,2),lglglglg (42 )lg 2(1)2xyxyxyyyy而 ，y=1 时， yxlglg 取最 大值 2lg 。 【练习】 2求下列函数的最大值、最小值与值域： 14 2 xxy ； 4 , 3, 1
4、4 2 xxxy ； 1 , 0, 14 2 xxxy ； 5 , 0, 14 2 xxxy ； x xx y 42 2 ， 4 , 4 1 x ； 2 23yxx 。 5 6 【参考答案】 3, ) ； 2,1 ； 2,1 ； 3,6 ； 73 6, 4 ； 0,2 5 6 三三反反函函数数法法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的 值域。 【MeiWei_81-优质适用文档】 【MeiWei_81-优质适用文档】 适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函 数类型。 例 5求函数 1 2 x x y 的值域。
5、分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。 1 2 x x y 反解得 y y x 2 ，故函数的值域为( ,2)(2,) 。 【练习】 1求函数 23 32 x y x 的值域。 2求函数 axb y cxd ， 0, d cx c 的值域。 【参考答案】1 22 (, )( ,) 33 ； (,)(,) aa cc 。 四四分分离离 变变量量法法： 适用类型 1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数 法。 例 6：求函数 1 25 x y x 的值域。 解： 177 (25) 11 222 2525225
6、x x y xxx ， 7 2 0 25x ， 1 2 y ，函数 1 25 x y x 的值域为 1 | 2 y y 。 适用类型 2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为 )(xfky ( 为k 常 数)的形式。 例 7：求函数 1 2 2 xx xx y 的值域。 分析与解分析与解：观察分子、分母中均含有 xx 2 项，可利用分离变量法；则有 22 22 1 1 11 xxxx y xxxx 2 1 1 13 () 24 x 。 不妨令： )0)( )( 1 )(, 4 3 ) 2 1 ()( 2 xf xf xgxxf 从而 , 4 3 )(xf 。 注意：在本题
7、中若出现应排除 0)(xf ，因为 )(xf 作为分母.所以 4 ( )0, 3 g x 故 1 , 3 1 y 。 另解另解：观察知道本题中分子较为简单，可令 2 22 11 1 xx t xxxx ，求出t的值域，进而可得到 y 的值域。 【练习】 【MeiWei_81-优质适用文档】 【MeiWei_81-优质适用文档】 1求函数 1 322 2 2 xx xx y 的值域。 【参考答案】1 10 (2, 3 五五、换换元元法法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的 方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征特征是函数解析式含有根式或三角函数公式
8、模型，当 根式里是一次式时，用代数换元代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元三角换元。 例 8：求函数 212yxx 的值域。 解：令 12tx （ 0t ），则 2 1 2 t x ， 22 15 1() 24 yttt 。 当 1 2 t ，即 3 8 x 时， max 5 4 y ，无最小值。函数 212yxx 的值域为 5 (, 4 。 例 9：求函数 2 21 (1)yxx 的值域。 解：因 2 1 (1)0x ，即 2 (1)1x 。 故可令 1cos,0, x ， 1cossincos11cosy 2 1) 4 sin(2 。 4 5 44 ,0 ， 2 sin()1 24 ，
9、 02sin() 1 12 4 故所求函数的值域为 21 , 0 。 例 10.求函数 3 42 21 xx y xx 的值域。 解：原函数可变形为： 2 22 121 211 xx y xx 可令 X= tan ，则有 2 2 22 21 sin2 ,cos 11 xx xx 11 sin2cos2sin4 24 y 当28 k 时， max 1 4 y 当28 k 时， min 1 4 y 而此时 tan 有意义。 故所求函数的值域为 4 1 , 4 1 例 11.求函数 (sin1)(cos1)yxx ， , 12 2 x 的值域。 解： (sin1)(cos1)yxx sincossi
10、ncos1xxxx 【MeiWei_81-优质适用文档】 【MeiWei_81-优质适用文档】 令sin cosxxt ，则 2 1 sin cos(1) 2 xxt 22 11 (1)1(1) 22 yttt 由 sincos2sin() 4 txxx 且 , 12 2 x 可得： 2 2 2 t 当 2t 时， max 3 2 2 y ，当 2 2 t 时， 32 42 y 故所求函数的值域为 32 3 ,2 422 。 例 12.求函数 2 45yxx 的值域。 解：由 2 50x ，可得| |5x 故可令 5cos,0, x 5cos45sin10sin()4 4 y 0 5 444
11、当4 时， max 410y 当 时， min 45y 故所求函数的值域为：4 5,410 六六、判判别别式式法法：把函数转化成关于x的二次方程 ( , )0F x y ；通过方程有实数根，判别式 0 ，从而求得原函数的值域，形如 2 111 2 222 a xb xc y a xb xc （ 1 a 、 2 a 不同时为零）的函数的值域，常用此 方法求解。 例 13：求函数 2 2 3 1 xx y xx 的值域。 解：由 2 2 3 1 xx y xx 变形得 2 (1)(1)30yxyxy ， 当 1y 时，此方程无解； 当 1y 时，x R ， 2 (1)4(1)(3)0yyy ， 解
12、得 11 1 3 y ，又 1y ， 11 1 3 y 【MeiWei_81-优质适用文档】 【MeiWei_81-优质适用文档】 函数 2 2 3 1 xx y xx 的值域为 11 |1 3 yy 七七、函函数数的的单单调调性性法法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数 的值域。 例 14：求函数 12yxx 的值域。 解：当x增大时，1 2x 随x的增大而减少， 1 2x 随x的增大而增大， 函数 12yxx 在定义域 1 (, 2 上是增函数。 111 1 2 222 y ， 函数 12yxx 的值域为 1 (, 2 。 例 15.求函数 11yxx 的值域。 解
13、：原函数可化为： 1x1x 2 y 令 1, 1 21 xyxy ，显然21 y,y 在 , 1 上为无上界的增函数 所以21 yyy 在 , 1 上也为无上界的增函数 所以当 x=1 时，21 yyy 有最小值 2，原函数有最大值 2 2 2 显然 0y ，故原函数的值域为 2, 0( 适用类型 2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减原理：同增异减） 例 16：求函数 )4(log 2 2 1 xxy 的值域。 分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令： 2 ( )4 ( ( )0)t xxx t x 配方得： 2 ( )(2)4( )0,4)t xxt x 所以（ 由复合函数的单调性（同增异减） 知： ), 2y 。 八八、利利用用有有界界性性：一般用于三角函数型，即利用 1 , 1cos,1 , 1sinxx 等。 例 17：求函数 cos si
