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1、【MeiWei81-优质实用版文档】三、值域问题例4.设函数f(G)定义于实数集上，对于任意实数G、y，f(G+y)=f(G)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(G)的值域。解：令G=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若f(0)=0，则f(G)=f(0+G)=f(G)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故f(0)0，必有f(0)=1。由于f(G+y)=f(G)f(y)对任意实数G、y均成立，因此，,又因为若f(G)=0,则f(0)=f(G-G)=f(G)f(-G)=0与f(0)0矛盾,所以f(G)0.四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例6、
2、设对满足G0,G1的所有实数G，函数f(G)满足,求f(G)的解析式。解:-（2）-（3）例8.是否存在这样的函数f(G),使下列三个条件:f(n)0,nN;f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2NG;f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(G)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(G),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,由此猜想:f(G)=2G(GNG)小结：对于定义在正整数集NG上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.练习：1、解:，3、函数f(G)对
3、一切实数G,y均有f(G+y)-f(y)=(G+2y+1)G成立，且f(1)=0，（1）求的值；（2）对任意的，都有f(G1)+20时，f(G)1,且对于任意实数G、y，有f(G+y)=f(G)f(y)，求证：f(G)在R上为增函数。证明：设R上G11，f(G2)=f(G2-G1+G1)=f(G2-G1)f(G1),(注意此处不能直接得大于f(G1)，因为f(G1)的正负还没确定)。取G=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f（0）=0,令G0,y=0，则f(G)=0与G0时，f(G)1矛盾，所以f(0)=1，G0时，f(G)10,G0，f(-G)1,由，故f(G)0，从而f(G2)f(G1
4、).即f(G)在R上是增函数。（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性）练习：已知函数f(G)的定义域为R，且对m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,当G时，f(G)0.求证：f(G)是单调递增函数；证明：设G1G2,则G2G1,由题意f(G2G1)0,f(G2)f(G1)=f(G2G1)+G1f(G1)=f(G2G1)+f(G1)1f(G1)=f(G2G1)1=f(G2G1)+f()1=f(G2G1)0,f(G)是单调递增函数.练习4、已知函数f(G)对任何正数G,y都有f(Gy)=f(G)f(y),且f(G)0,当G1时,f(G)f(G2),故f(G)在R+上为
5、减函数.练习6、.已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)，(3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(3),则，由对任意，总有（II）任意且，则(III)，即。故即原式成立。六、奇偶性问题解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-G)与f(G)的关系（2）已知y=f(2G+1)是偶函数，则函数y=f(2G)的图象的对称轴是（D）A.G=1B.G=2C.G=D.G=解析：f(2G+1)关于G=0对称,则f(G)关于G=1对称,故f(2G)关于2G=1对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一
6、般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F（G）=f(2G+1)为偶函数，则f(-2G+1)=f(2G+1)f(G)关于G=1对称。例15：设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，又。求实数的取值范围。解析：又偶函数的性质知道：在上减，而，所以由得，解得。（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：等；也可将定义域作一些调整）例16：定义在R上的单调函数f(G)满足f(3)=log3且对任意G，yR都有f(G+y)=f(G)+f(y)(1)求证f(G)为奇函数；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0对任意GR恒成立，求实数k的取值范围解答：(1)
7、证明：f(G+y)=f(G)+f(y)(G，yR)-令y=-G，代入式，得f(G-G)=f(G)+f(-G)=f(0)，令G=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0即f(-G)=-f(G)对任意GR成立，f(G)是奇函数(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(G)在R上是单调函数，所以f(G)在R上是增函数，又由(1)f(G)是奇函数f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，k3-3+9+2，3-(1+k)3+20对任意GR成立令t=30，即t-(1+k)t+20对任意t0恒成立故：对任意GR恒成立。说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性
8、质f(G)是奇函数且在GR上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t0恒成立对二次函数f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系数由k3-3+9+2得要使对不等式恒成立，只需km-1对恒成立，分离参变量m（这是求参变量取值范围的通法）得：m,（01-sin1,事实上当sin=1时不等式恒成立，即对m没有限制，所以无需研究）,记g()=,则mg()min，又01-sin1，g()min=1（当且仅当=0时等号成立），m0提高定义在R上的偶函数f(G)满足:f(G+1)=,且f(G)在-3，-2上是减函数，又、是钝角三角形的两锐角，则下列结论中正确的是:A.f(
9、sin)f(cos)B.f(sin)f(cos)C.f(sin)f(sin)D.f(cos)-1（这是使用“判别式法”时需特别注意的）。记G+1=t,(t0),此时G=t-1,设g(t)=(当且仅当t=1即G=0时等号成立，（注意这里的“换元”实质是“整体化”的具体落实，将需要“整体化”的部分换成一个变量，比“凑”更具一般性也更易实施），选C。举例2已知+，则的最小值为 解析：本题关注的取值范围，对使用基本不等式，当且仅当=1时等号成立，事实上：，等号不成立，即不能使用基本不等式。记=（0）,=+=g(),函数g()在（0，上递减，g()min=g()=。5.求参变量的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函
