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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】第十天：1体育课上，30名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，30，然后，老师让所报的数是2的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是3的倍数的同学向后转，最后让所报的数是5的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有多少人？解：此题是容斥原理（包含排除、重叠问题）与奇偶分析的综合题。低年级的孩子可以用枚举的方法（容斥原理没听课，所以需要补上）：2的倍数15个：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、303的倍数10个：3、6、9、12、15、18、21、24、27、305的倍数6个：5、10、15、20、2
2、5、30既是2又是3的倍数5个：6、12、18、24、30既是2又是5的倍数3个：10、20、30既是3又是5的倍数2个：15、30是2、3、5的倍数1个：30想要最后面向老师，那么符合这样条件的学生，要么转动了0次，要么转动了2次。结合上面的分析，应该很好理解了。最后的结果为：30-（15+10+6-5-3-2+1）+（5+3+2-31）15人而使用容斥原理可直接用上述式子得出。2对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2。这算一次操作。现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？解：231是11的倍数，操作只有两个，一个是加121，而12
3、1也是11的倍数，另一个操作是除以2（一个是11倍数的偶数的一半，仍然是11的倍数），这两个操作都无法改变得数仍然是11倍数的这一性质，即在运算过程中出现的数一定都是11的倍数，因为100不是11的倍数，所以在题目中定义的运算里是不可能出现100的。如果将以上题目的231改变为任意一个11的倍数，包括0（要先加121，即121）和11本身，那么得数中肯定不会有100，这个结论是可靠的。但如果将231改变为任意一个不是11的倍数的数，比如1、2、3、343甚至更大，只要不是11的倍数，就会出现100，比如1，会在第105步得到100；2会在第106步得到100；而34只用了16步：第1步：342
4、=17第2步：17+121=138第3步：1382=69第4步：69+121=190第5步：1902=95第6步：95+121=216第7步：2162=108第8步：1082=54第9步：542=27第10步：27+121=148第11步：1482=74第12步：742=37第13步：37+121=158第14步：1582=79第15步：79+121=200第16步：2002=100那么我们能不能就说只要不是11的倍数，应用上述规则进行计算，结果中就一定会出现100呢？尽管做了可能的很多试验，这个结论是正确的，但还必须经过数学证明才能下此结论。3有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是
5、它前面两个数字之和，这类数中最大的自然数是几？为什么？解：按照题意，要使得数最大，那么前面的数字一定要最小，这样得到的结果的位数就可能大，最后的得数就大。因为第一位只能是1，那么第二位就是0，有了这两位，依照题目给出的规则就可以逐步计算出所有的位数，直到最后两位数字之和大于9。最后可得到所求的自然数是10112358。4.（多次相遇问题）甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙二人的速度分别是每小时30千米和20千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，已知二人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地之间的距离是多少千米？解：如图所示，
6、在A、B间，设甲、乙第一次相遇M点，第二次相遇N点，并设A、N两点间的距离为a，M、B两点间的距离为b，根据题意有MN两点间的距离为20千米。a20bA N M B第一次相遇时，甲走了（a+20）千米，乙走了b千米，相遇时所用时间相同，则有：（a+20）30=b20自第一次相遇点（即M点）到第二次相遇（即在N点）时，甲又走了b+b+20，乙又走了20+a+a，可以看出甲和乙共走了A、B间的2倍的路程，并且，根据题意又有A、B均是匀速，也就是有甲第二次走的路程（b+b+20）是第一次相遇走的路程（a+20）的两倍（因为总路程是两倍，所用时间也是两倍，所以有这个结论），于是有：（b+b+20）=2
7、（a+20）由以上、式联立得方程组解得：a=10，b=20那么A、B之间的距离是a+20+b=50千米。答：A、B之间的距离是50千米。5、（余数问题）1013除以一个两位数，余数是12，求出符合条件的所有的两位数。解：余数为12，那么根据除法的性质，除数一定大于12；又有（1013-12）一定能被符合条件的数整除，我们首先计算出1001的除了1和其自身的所有的质因数：11| 100113|917那么符合条件的就在上述数字及其相互间的乘积中，可以得出两位数的有13、77、91。第九天：1（燕尾定理）如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点，阴影部分的面积是多少平方厘
8、米？解：连接F、C两点，因为F是DG的中点，那么CFG与CFD的面积相等，并且等于CDG面积的一半，即长方形ABCD面积的四分之一，又因为EC=2DE，那么CFE的面积等于EDF的两倍，所以阴影部分的面积即是：24（56）=5/12答：阴影部分的面积是十二分之五平方厘米。2（约数倍数问题）海港码头三只船，甲船往返需三天，乙船出海五天回，丙船七天返回岸，三船1996年元旦出海去，下次同遇码头边，恰在这一年的几日？请你动脑细心算。解：3,5,7的最小公倍数是3,5,7=105；又1996年闰年，二月是29天，一月，三月都是31天，105-(31+29+31)=14，因此，下次三船同遇码头边在4月1
9、4日。答：下次在码头相遇是在1996年的4月14日。3（周期问题）a7化成小数后，小数点后至少多少个数字之和是20RR，这时a是多少？解：分母是7的分数化成小数的特点是，都是由123857这六个数字组成的无限循环小数，并且根据分子的不同，其排列顺序是首尾相接循环，只是位置不同。比如：17=0.14285714285714285727=0.285714285714285713也就是说，不论分子是几，其小数表示的一个循环节中数字和是相同的，即每一循环节的数字和都是1+4+2+8+5+7=27，根据题意，20RR中有74个27，且余10，那么循环节中相邻数字之和为10的只有2和8，即a=2。答：根据
10、题意，a是2。4（数字谜）、4.25(12.5+9.10.7)0.04=100改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式，那么被改动的数变为多少？解：根据4.25(12.5+9.10.7)0.04=100，得到21（0.4+13）25=100，只有一个小数，假设小数有问题，那么，（21-17）25=100，0.4应为4，2.5应为0.25答：把2.5改成0.25。5（操作问题）向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字。现在页面中有1个五号字，将它复制后粘贴到该页面，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字。每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满
11、五号字，至少需要操作多少次？解：根据题意，每次操作的结果字数都是前一次的2倍，2的10次方是1024，那么再复制粘贴一次就可超过1677，即需要11次。第八天：1、（燕尾定理）如图在ABC中，AB=3BD，4BE=3EC，AE与CD相交于点F，其中四边形BDFE的面积为13cm。求阴影三角形AFC的面积。解：连接B、F两点，并设BDF和BFE的面积分别为a和b，则根据题意有：a+b=13设所求阴影AFC的面积为R，根据题意，有ABF的面积为：3a；BFC的面积为：7b3，根据蝴蝶定理，AFC与FBC的面积之比等于线段AD与DB的长度之比，所以有：R:（7b3）=2:1同时AFC与ABF的面积之
12、比等于线段EC与BE的长度之比，所以有：R:3a=4:3，由上述两个式子分别化简可以得到：b=3R14a=R4，那么上述两个式子左右分别相加即可得到3R14+R4=b+a=13解方程得R=28。答：阴影三角形AFC的面积是28cm。更多免费资源下载绿色圃中小学教育网httP:/wWw.lSpjR.cOm2（组合问题）有13个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组六个队，各组先进行单循环赛（即每队都要与其它各队比赛一场），然后由各组的前两名共四个队再进行单循环决定冠亚军。问：共需要比赛多少场？解：这是一道典型的组合问题，直接套用公式即可。第一组单循环需要比赛：C=762=21；第二组
13、单循环需要比赛：C=652=15；决赛需要C=432=6，因此共需要比赛21+15+6=42场。答：共需要比赛42场。3（抽屉原理）请问从1，2，3，20RR这20RR个正整数中至多可以取出多少个数，使得取出的数中任意两数之和不能被这两数之差整除？(20RR年国际小学数学竞赛（队际赛）)解：670。对这些数每相邻的三个数分为一组，即(1,2,3)(4,5,6)(7,8,9)(20RR,20RR,20RR),20RR，共有669组，多一个20RR，如果20RR自己一个组，那么就共有670组。如果取了671个数，根据抽屉原理，那么必然有一组中被取出了两个数，设为a、b，那么a-b是1或者2，并且a
14、+b与a-b同奇偶，于是a+b能被a-b整除，所以所取的数不能超过670个。4（定义新运算）如果ab表示ab-b，例如25=25-5=5，那么当（R2）1=3时，R= 。解：直接套用新运算公式，可分步：第一步：设R2=R，则R1=3，根据新运算定义，即有R1-1=3，则可求得R=4；第二步：将R代入有R2=4，根据新运算定义，有R2-2=4，则求得R=3。5（逻辑推理）一天，唐僧师徒四人来到一家小旅店，店里的人都吓跑了，师徒四人只能自己动手做饭，他们一个挑水，一个洗菜，一个烧火，一个淘米。现在知道唐僧不挑水，也不淘米；猴子不洗菜，也不挑水；老猪既不挑水也不洗菜，假如猴子不淘米，那么沙僧就不挑水
15、。请问他们各忙活什么？解：从题意知，唐僧、猴子和老猪都不挑水，那么挑水的只能是沙僧，又知如果猴子不淘米，那么沙僧就不挑水，所以，猴子必须要淘米，只剩下洗菜和烧火了，又因为老猪不洗菜，所以老猪只能去烧火，剩下的洗菜唐僧只好自己干了。答：唐僧洗菜，孙悟空淘米，猪八戒烧火，沙僧挑水。第七天：1、（数字迷）下面算式中，每一汉字代表一个数字，不同的汉子代表不同的数字，数数科学=学数学，那么，“数学”两字代表的两位数是 。解：思路分析，“数数”所代表的数字一定是11的倍数，那么可能的两位数是11,22,33，99，先从11着手试吧，“学数学”代表的数字一定也是11的倍数，2学数也是11的倍数，经试算答案是1156=616，所以“数学”两字代表的两位数是16。2、（抽屉原理）布袋里有5种不同颜色的球，每种都有20个，最少取出多少个球，才能保证其中定有3个颜色相
