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1、平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题知识点一平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底思考如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量，a.答案通过观察，可得：2e13e2，e14e2，4e14e2，2e15e2，2e15e2，a2e1.知识点二两向
2、量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a和b，如图，作a，b，则AOB (0180)，叫做向量a与b的夹角范围：向量a与b的夹角的范围是0，180当0时，a与b同向当180时，a与b反向(2)垂直：如果a与b的夹角是90，则称a与b垂直，记作ab.思考在等边三角形ABC中，试写出下面向量的夹角、；、；、；、.答案与的夹角为60；与的夹角为120；与的夹角为60；与的夹角为180.题型一对向量的基底认识例1如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是_e1e2(、R)可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个；若向量1e11e2与
3、2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)；若存在实数，使得e1e20，则0.答案解析由平面向量基本定理可知，是正确的对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的对于，当两向量的系数均为零，即12120时，这样的有无数个跟踪训练1设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_(写出所有满足条件的序号)答案解析对于4e22e12e14e22(e12e2)，e12e2与4e22e1共线，
4、不能作为基底题型二用基底表示向量例2如图所示，已知ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若a，b，试以a、b为基底表示、.解四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，2，2，b，a.babab，ba.跟踪训练2如图，已知ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若a，b，用a、b表示、.解a(ba)ab；a(ba)ab；a(ba)ab.题型三向量夹角问题例3已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，设ab与a的夹角为，ab与a的夹角是，求.解如图，作a，b，且AOB60，以OA、OB为邻边作OACB，则ab，ab，a.因为|a|b|2，所以OAB为正三角形，所
5、以OAB60ABC，即ab与a的夹角60.因为|a|b|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OCAB，所以COA906030，即ab与a的夹角30，所以90.跟踪训练3若a0，b0，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角解由向量运算的几何意义知ab，ab是以a、b为邻边的平行四边形两条对角线如图，|a|b|ab|，BOA60.又ab，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOA，a与ab的夹角是30.题型四平面向量基本定理的应用例4如图所示，在OAB中，a，b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点若OM与BN相交于点P，求.解()ab，因为与共线，故可设tab.又与共线
6、，可设s，ss()(1s)asb，所以解得所以ab.跟踪训练4如图所示，在ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于E，设a，b，试用基底a，b表示向量.解易得b，a，由N，E，B三点共线，设存在实数m，满足m(1m)mb(1m)a.由C，E，M三点共线，设存在实数n满足：n(1n)na(1n)b.所以mb(1m)ana(1n)b，由于a，b为基底，所以解得所以ab.向量夹角概念不清致误例5已知2a，2b，a3b，求向量与的夹角错解由已知得，2a2b，(a3b)2bab，显然2，可见与共线，故与的夹角为0.错因分析两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况，当两个向量同向共线时，其夹角为
7、0，当两个向量反向共线时，其夹角为180.上面的解答没有注意到这个问题，导致出错正解由已知得，2a2b，(a3b)2bab.显然2，可见与共线，且是反向共线，故与的夹角为180.1设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2和e1e2 B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2 De1和e1e22如图，已知a，b，3，用a，b表示，则等于()Aab B.abC.ab D.ab3在直角三角形ABC中，BAC30，则与的夹角等于()A30 B60C120 D1504设向量m2a3b，n4a2b，p3a2b，试用m，n表示p，p_.5如图所示，已
8、知梯形ABCD中，ABDC，且AB2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设a，b，试用a、b为基底表示、.一、选择题1下列关于基底的说法正确的是()平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的A B C D2如图所示，矩形ABCD中，5e1，3e2，则等于()A.(5e13e2) B.(5e13e2)C.(3e25e1) D.(5e23e1)3如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若a，b，用a、b表示等于()A.ab B.abC.ab D.ab4设向量e1和
9、e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，则实数y的值为()A3 B4 C D5若D点在三角形ABC的边BC上，且4rs，则3rs的值为()A. B. C. D.二、填空题6已知e1、e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a、b能作为平面内的一组基底，则实数的取值范围为_7如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设a，b，若2，则_(用a和b表示)8若|a|b|ab|r(r0)，则a与b的夹角为_9如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中、R，则_.10设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BE
10、BC，若12(1，2为实数)，则12的值为_三、解答题11判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若ae1be2ce1de2(a、b、c、dR)，则ac，bd；(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1e2、e1e2表示出来12如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2.若(、R)，求的值13已知单位圆O上的两点A、B及单位圆所在平面上的一点P，与不共线(1)在OAB中，点P在AB上，且2，若rs，求rs的值；(2)P满足m(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值当堂检测答案1答案B解析B中，6e18e22(3
11、e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e14e2和6e18e2不能作为基底2答案B解析()ab.3答案D解析由向量夹角定义知，、的夹角为150.4答案mn解析设pxmyn，则3a2bx(2a3b)y(4a2b)(2x4y)a(3x2y)b，得5解连接FD，DCAB，AB2CD，E、F分别是DC、AB的中点，DC綊FB.四边形DCBF为平行四边形依题意，b，ab，(ab)bba.课时精练答案一、选择题1答案C解析零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故错，正确2答案A解析()(5e13e2)3答案D解析易知，.设，则由平行四边形法则可得()22，由于E，G、F三点共线，则221，即，从而，从而(ab)4答案B解析因为3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，所以(3x4y7)e1(10y2x)e20，又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，所以解得故选B.5答案C解析4rs，()rs，r，s.3rs.二、填空题6答案(，4)(4，)解析若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线ae12e2，b2e1e2，由akb即得4.7
