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1、一、初等因子的定义,二、初等因子与不变因子的关系,8.5 初等因子,三、初等因子的求法,四、练习,一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）,把矩阵 的每个次数大于零的不变因子,称为A的初等因子.,分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些,一、初等因子的定义,9个,则A的初等因子有7个，它们是,例1、若12级复矩阵A的不变因子是:, 设n级矩阵A的不变因子为已知：,将 分解成互不相同的一次因式,二、初等因子与不变因子的关系,的方幂的乘积:,1、分析,则其中对应于 的那些方幂 :,就是A的全部初等因子., 注意到不变因子 满足,从而有,因此有,即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，,方次
2、最高的必出现在 的分解式中，次高的必,出现在 的分解式中.,如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂,的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是,唯一确定的., 设 级矩阵 的全部初等因子为已知.,在全部初等因子中，将同一个一次因式,的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初,等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数,的1，使其凑成n个，设所得排列为,于是令,则,就是A的不变因子.,2、例1、 已知3级矩阵A的初等因子为：,求A的不变因子.,解：作排列,得A的不变因子为：,结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，,则它们就有相同的初等因子；,反之，若它们有相同的初等因子，则它们就
3、有,结论2、两个同级数字矩阵相似,相同的不变因子.,它们有相同的初等因子.,3、性质,1、(引理1)若多项式 都与,互素，则,三、初等因子的求法,证：令,显然，,由于,故,因而,另一方面，由于,可令,其中,又,由,又得,同理可得,即,故,如果多项式 都与 互素，,2、(引理2) 设,则 与 等价.,证：首先，,从而 二阶行列式因子相同.,其次，由引理1，有,从而 的一阶行列式因子相同.,所以， 与 等价.,3、(定理9) 设 将特征矩阵 进行,初等变换化成对角形,然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因,式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同,的按出现的次数计算）就是A的全部初等因
4、子.,证：设 经过初等变换化成对角形,其中 皆为首1多项式，,将 分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积:,下证，对于每个相同的一次因式的方幂,在 的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角,矩阵 与 等价.,此时 就是 的,且所有不为1的 就是A的全部,初等因子.,标准形，,为了方便起见，先对 的方幂进行讨论.,于是,且每一个 都与 互素.,如果相邻的一对指数,则在 中将 与 对调位置，,而其余因式保持不动，,令,由引理2,与,等价.,等价.,然后对 重复上述讨论.,从而 与对角矩阵,如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含,的方幂是按逆升幂次排列为止.,再依次对 作同样处理.,最后便得到与 等价的对角阵,都是按升幂排列的，,的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂,即为 的标准形.,4、例2、求矩阵A的初等因子,解：对 作初等变换, A的初等因子为:,四、练习,1、 已知7阶复矩阵A的不变因子是：,则A的全部初等因子为 .,2、求以下方阵,的不变因子和初等因子,（1）,（2）,
