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1、3-4 误差传播定律,在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB，是由起始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差h1hn求和得出的。 这时未知点B的高程H。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。,一、观测值的函数,1、和差函数 设有函数： Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误差为mx、my，求Z的中误差mZ。 设x、y和z的真误差分别为x、y和z则 若对x、y 均观测了n次，则 将上式平方
2、，得,求和，并除以n，得,由于x、y均为偶然误差，其符号为正或负的机会相同，因为x、y为独立误差，它们出现的正、负号互不相关，所以其乘积xy也具有正负机会相同的性质，在求xy时其正值与负值有互相抵消的可能；当n愈大时，上式中最后一项xy/n将趋近于零，即,将满足上式的误差x、y称为互相独立的误差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测值。对于独立观测值来说，即使n是有限量，由于 式残存的值不大，一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得,两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。,当z是一组观测值X1、X2Xn代数和（差）的函数时，即,式中mxi是观测值xi的中误差。,可以得出函数
3、Z的中误差平方为,结论：n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。,当诸观测值xi为同精度观测值时，设其中误差为m，即 mx1=mx2=mxn=m则为 在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观测值个数n的平方根成正比。,例1：设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每尺段量距的中误差都为m，求全长S的中误差ms。 解：因为全长S=LLL（式中共有n个L）。而L的中误差为m。,结论：量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比。,例2：如以 30m长的钢尺丈量 90m的距离，当每尺段量距的中误差为5mm时，全长的中误差为：,当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误
4、差都为mL，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长度为S公里的距离丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为： 式中，S的单位是公里。,结论：在距离丈量中，距离S的量距中误差与长度S的平方根成正比。,例3 为了求得A、B两水准点间的高差，今自A点开始进行水准测量，经n站后测完。已知每站高差的中误差均为m站，求A、B两点间高差的中误差。 解：因为A、B两点间高差hAB等于各站的观测高差hi（i=l，2n）之和， 即hAB=HB-HA=h1+h2+hn 结论：水准测量高差的中误差，与测站数n的平方根成正比,2、倍数函数 设有函数： Z为观测值的函数，K为常
5、数，X为观测值，已知其中误差为mx，求Z的中误差mZ。 设x和z的真误差分别为x和z则 若对x 共观测了n次，则 将上式平方，得 求和，并除以n，得,结论：观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。,例4 在1：500比例尺地形图上，量得A、 B两点间的距离SAB=23.4mm，其中误差msab=土0.2mm，求A、B间的实地距离SAB及其中误差msAB。 解： SAB=500 Sab=500 23.4=11700mm=11.7m 得 msAB500 mSab500 （士0.2） =土100mm 0.1m 最后答案为SAB=11.7m士0.1m,3、线性函救 设有线性函数： 则有 例5
6、 设有线性函救 观测量的中误差分别为， 求Z的中误差,4、一般函数,式中xi(i=1，2n)为独立观测值，已知其中误差为mi(i=1 2n)，求z的中误差。 当xi具有真误差时，函数Z相应地产生真误差z。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。,式中 （i=l，2n）是函数对各个变量所取的偏导数，以观测值代人所算出的数值，它们是常数，因此上式是线性函数可为：,例 6 设有某函数z=Ssin 式中S=150.11m，其中误差ms=士005m； =1194500，其中误差m=士20.6；求z的中误差mz。 解：因为z=Ssin，所以
7、z是S及a的一般函数。,求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步： 1）按问题的要求写出函数式： 2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式： 式中， 是用观测值代入求得的值。 3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：,二、一般函数的中误差,误差传播定律的应用,用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差m15 。,误差传播定律的应用,例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解:(1)测量水平距离的精度基本公式：,求全微分：,水平距离中误差：,其中：,误差传播定律的应用,例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解: (2)测
8、量高差的精度基本公式：,求全微分：,高差中误差：,其中：,误差传播定律的应用,例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为 求该正方形的周长S和面积A的中误差.,解: (1)周长 ,(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为 其中: 求该正方形的周长S和面积A的中误差.,面积 ,周长的中误差为,全微分:,面积的中误差为,全微分:,（2）,35 加权平均值及其精度评定 一、不等精度观测及观测值的权,如果对某个未知量进行n次同精度观测，则其最或然值即为n次观测量的算术平均值：,在相同条件下对某段长度进行两组丈量：,第一组：,第二组：,算术平均值分别为,其中误差分别为：,全部同精度观测值的最或然值为：,令,
9、若有不同精度观测值,其权分别为,该量的最或然值可扩充为：,称之为加权算术平均值。,当各观测值精度相同时,二、加权平均值中误差,定权的基本公式：,c为任意正数，权等于1的中误差称为“单位权中误差”，一般用m0表示。所以：,权的特性,1、 反映了观测值的相互精度关系。,3 、不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系,2、c值的大小和X值没有关系,4 、若Li是同类量的观测值，此时，权无单位。若Li是不同类量的观测值，权是否有单位不能一概而论，而视具体情况而定。,四、单位权中误差的计算,在同精度观测中，观测值的精度是相同的，因此可用 来计算观测值的中误差。在不同精度观测中，每个观测值的精度不同，就必须先求出单位权中误差，然后根据 求出各观测值的中误差。,以推导计算单位权中误差的公式为,谢谢观看！,
