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1、 人教版高中数学选修2-2教案全集 第一章 导数及其应用 1.1.1变化率问题 教学目标： 1理解平均变化率的概念； 2了解平均变化率的几何意义； 3会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念 教学过程： 一创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等
2、。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 二新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? n 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 n 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 分析: ， 1 当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 2 当V从1增加到2时,气球半径增加了 h t o 气球的平均膨胀率
3、为 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了 思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 思考计算：和的平均速度 在这段时间里，； 在这段时间里， 探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 运动员在这段时间内使静止的吗？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的
4、图像，结合图形可知， 所以， 虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 （二）平均变化率概念: 1上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 2若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样) 3 则平均变化率为 思考：观察函数f(x)的图象 平均变化率表示什么? f(x2) y=f(x) y y =f(x2)-f(x1) f(x1) 直线AB的斜率 x= x2-x1 x2 x1 x O 三典例分析 例1已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 解：， 例
5、2 求在附近的平均变化率。 解：，所以 所以在附近的平均变化率为 四课堂练习 1质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率. 五回顾总结 1平均变化率的概念 2函数在某点处附近的平均变化率 六教后反思： 1.1.2导数的概念 教学目标： 1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3会求函数在某点的导数 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、
6、导数的概念； 教学难点：导数的概念 教学过程： 一创设情景 （一）平均变化率 （二）探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 运动员在这段时间内使静止的吗？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， h t o 所以， 虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 二新课讲授 1瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如
7、，时的瞬时速度是多少？考察附近的情况： 思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？ 结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值 从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是 为了表述方便，我们用 表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值” 小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 2 导数的概念 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: 我们称它为函数在出的导数，记作或，即 说明：（1）导数即为函数y=f
8、(x)在x=x0处的瞬时变化率 （2），当时，所以 三典例分析 例1（1）求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2 再求再求 解：法一 定义法（略） 法二： （2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解： 例2（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和 根据导数定义， 所以 同理可得: 在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约
9、以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升 注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况 四课堂练习 1质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为 2求曲线y=f(x)=x3在时的导数 3例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 五回顾总结 1瞬时速度、瞬时变化率的概念 2导数的概念 六教后反思： 1.1.3导数的几何意义 教学目标： 1了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2理解曲线的切线的概念； 3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义 教学过程： 一创设
10、情景 （一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数 我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数的几何意义是什么呢？ 二新课讲授 （一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？ 图3.1-2 我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即x0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线. 问题：割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？ 切线PT的斜率为多少？ 容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即 说明：（1）设切线的倾斜
11、角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在处的导数. （2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义： 函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率， 即 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: 求出P点的坐标; 求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率； 利用
12、点斜式求切线方程. （二）导函数： 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或， 即: 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数 （三）函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系。 （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 (2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 (3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是 求函数在点处的导数的方法之一。 三典例分析 例1:（1）求曲线y=f(x)=x
13、2+1在点P(1,2)处的切线方程. （2）求函数y=3x2在点处的导数. 解：（1）, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即 （2）因为 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即 （2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解： 例2（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 ，根据图像，请描述、比较曲线在、附近的变化情况 解：我们用曲线在、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况 （1） 当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降 （2） 当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函
14、数在附近单调递减 （3） 当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减 从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢 例3（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度(单位：)随时间（单位：）变化的图象根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到） 解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率 如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值 作处的切线，并在切线上去两点，如，则它
15、的斜率为： 所以 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值： 0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率 0.4 0 -0.7 -1.4 四课堂练习 1求曲线y=f(x)=x3在点处的切线； 2求曲线在点处的切线 五回顾总结 1曲线的切线及切线的斜率； 2导数的几何意义 六教后反思： 1.2.1几个常用函数的导数 教学目标： 1使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、的导数公式； 2掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数 教学重点：四种常见函数、的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数、的导数公式 教学过程： 一创设情景 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理
16、意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那么，对于函数，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数 二新课讲授 1函数的导数 根据导数定义，因为 所以 函数 导数 表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态 2函数的导数 因为 所以 函数 导数 表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动 3函数
