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1、工程数学（本）11春期末复习辅导（来自中央电大） 顾静相大家好！现在是工程数学（本）本学期期末网上辅导地时间,欢迎大家参与这次活动.我们首先对本课程地考核进行一些说明.本课程地考核形式为形成性考核和期末考试相结合地方式.考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成,考核成绩满分为100分,60分为及格.其中形成性考核成绩占考核成绩地30%,期末考试成绩占考核成绩地70%.形成性考核地内容及成绩地评定按中央广播电视大学人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册地规定执行.期末考试地考核内容为线性代数、概率论与数理统计两个部分,包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵地特征值及二次型、随机事
2、件与概率、随机变量地分布和数字特征、数理统计基础等方面地知识.期末考试采用半开卷笔试形式,题型不变.卷面满分为100分,考试时间为90分钟.半开卷考试是介于闭卷考试和开卷考试两者之间考试方式.半开卷考试与开卷考试地差别就在于允许考生携带地资料地不同,开卷考试允许考生携带任何资料,而半开卷考试只允许考生携带指定地资料,比如允许考生携带一张统一印制A4纸,考生可以将自己对课程学习内容地总结包括重点、难点、不好记忆地公式、定理等写在这张A4纸上带入考场,作为答卷地参考.下面先给出各章地复习要求,然后针对重点内容给出一些综合练习,与大家一起做好期末复习工作.行列式复习要求1知道n阶行列式地递归定义；2
3、掌握利用性质计算行列式地方法；3知道克莱姆法则.矩阵复习要求1理解矩阵地概念,了解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上(下)三角矩阵、对称矩阵地定义,了解初等矩阵地定义；2熟练掌握矩阵地加法、数乘矩阵、乘法、转置等运算；3掌握方阵乘积行列式定理；4理解可逆矩阵和逆矩阵地概念及性质,掌握矩阵可逆地充分必要条件；5熟练掌握求逆矩阵地初等行变换法,会用伴随矩阵法求逆矩阵,掌握求解简单地矩阵方程地方法；6理解矩阵秩地概念,掌握矩阵秩地求法；7会分块矩阵地运算.线性方程组复习要求1掌握向量地线性组合与线性表出地方法,了解向量组线性相关与线性无关地概念,会判别向量组地线性相关性；2会求向量组地极大线性
4、无关组,了解向量组和矩阵地秩地概念,掌握求向量组地秩和矩阵地秩地方法；3理解线性方程组地相容性定理,理解齐次线性方程组有非零解地充分必要条件.熟练掌握用矩阵初等行变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解地存在性和惟一性；4熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解地求法；5了解非齐次线性方程组解地结构,掌握求非齐次线性方程组通解地方法.矩阵地特征值及二次型复习要求1理解矩阵特征值、特征多项式及特征向量地定义,掌握特征值与特征向量地求法；2了解矩阵相似地定义,相似矩阵地性质；3知道正交矩阵地定义和性质；4理解二次型定义、二次型地矩阵表示、二次型地标准形,掌握用配方法化二次型为标准形地方法；5了解正定矩阵地
5、概念,会判定矩阵地正定性.随机事件与概率复习要求1了解随机事件、概率等概念；2掌握随机事件地运算,了解概率地基本性质；3了解古典概型地条件,会求解较简单地古典概型问题；4熟练掌握概率地加法公式和乘法公式,掌握条件概率和全概公式；5理解事件独立性概念；6掌握贝努里概型.随机变量地分布和数字特征复习要求1理解随机变量地概率分布、概率密度地概念,了解分布函数地概念；2理解期望、方差与标准差等概念,掌握求期望、方差地方法；3熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量地分布以及它们地期望与方差；4知道二维随机变量地概念,了解随机变量独立性概念；5知道大数定律和中心极限定理.数理统计基础复习要求1理解总体、样
6、本、统计量地概念,知道t分布,c2分布,F分布,会查t,c2,F分布表；2会参数地矩估计法,掌握参数地最大似然估计法；3了解估计量地无偏性、有效性地概念；4了解区间估计地概念,熟练掌握求正态总体期望地置信区间地方法；5知道假设检验地基本思想,熟练掌握单正态总体均值地检验方法,会作单正态总体方差地检验；6了解最小二乘法地基本思想,会求一元线性回归方程地方法和检验.刚才我们给出了本课程各章复习要求,希望大家按照这些要求,结合下面地综合练习题进行认真复习综合练习一、单项选择题1设为阶矩阵,则下列等式成立地是（ ）ABCD正确答案：A 2方程组相容地充分必要条件是(),其中,A BC D 正确答案：B
7、 3下列命题中不正确地是（ ）AA与有相同地特征多项式 B若是A地特征值,则地非零解向量必是A对应于地特征向量C若=0是A地一个特征值,则必有非零解DA地特征向量地线性组合仍为A地特征向量正确答案：D 4若事件与互斥,则下列等式中正确地是（ ）A BC D 正确答案：A5设是来自正态总体地样本,则检验假设采用统计量U =（ ）A B C D 正确答案： C 6若是对称矩阵,则等式（）成立A. B. C. D.正确答案：B7（ ）A. B. C. D.正确答案：D8若（）成立,则元线性方程组有唯一解A. B. C. D.地行向量线性相关正确答案：A9. 若条件（）成立,则随机事件,互为对立事件A
8、.或 B.或C.且 D.且正确答案：C10对来自正态总体（未知）地一个样本,记,则下列各式中（）不是统计量A. B. C. D.正确答案： C二、填空题1设,则地根是 应该填写：1,-1,2,-22设4元线性方程组AX=B有解且r（A）=1,那么AX=B地相应齐次方程组地基础解系含有个解向量应该填写：33设互不相容,且,则应该填写：0 4设随机变量X B（n,p）,则E（X）= 应该填写：np 5若样本来自总体,且,则应该填写：6设均为3阶方阵,则应该填写：87设为n阶方阵,若存在数l和非零n维向量,使得,则称为相应于特征值l地特征向量应该填写： 8若,则应该填写：0.3 9如果随机变量地期望
9、,那么应该填写：20 10不含未知参数地样本函数称为应该填写：统计量 三、计算题1设矩阵,求解：由矩阵乘法和转置运算得利用初等行变换得即 2求下列线性方程组地通解解利用初等行变换,将方程组地增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵,即方程组地一般解为：,其中,是自由未知量令,得方程组地一个特解方程组地导出组地一般解为：,其中,是自由未知量令,得导出组地解向量；令,得导出组地解向量 所以方程组地通解为：,其中,是任意实数 3设随机变量X N（3,4）求：（1）P（1 X 7）；（2）使P（X a）=0.9成立地常数a (已知,)解：（1）P（1 X 7）= = 0.9773 + 0.8413 1 = 0.8
10、186 （2）因为 P（X a）= 0.9所以 ,a = 3 + =5.56 4从正态总体N（,4）中抽取容量为625地样本,计算样本均值得= 2.5,求地置信度为99%地置信区间.(已知 )解：已知,n = 625,且 因为 = 2.5,所以置信度为99%地地置信区间为：. 5设矩阵,求利用初等行变换得即由矩阵乘法得6当取何值时,线性方程组有解,在有解地情况下求方程组地全部解解：将方程组地增广矩阵化为阶梯形由此可知当时,方程组无解.当时,方程组有解.此时齐次方程组化为分别令及,得齐次方程组地一个基础解系令,得非齐次方程组地一个特解由此得原方程组地全部解为（其中为任意常数）7设,试求：(1)；
11、(2)（已知）解：(1)(2)8某车间生产滚珠,已知滚珠直径服从正态分布今从一批产品里随机取出9个,测得直径平均值为15.1mm,若已知这批滚珠直径地方差为,试找出滚珠直径均值地置信度为0.95地置信区间解：由于已知,故选取样本函数已知,经计算得滚珠直径均值地置信度为0.95地置信区间为,又由已知条件,故此置信区间为四、证明题1设是阶对称矩阵,试证：也是对称矩阵证明：是同阶矩阵,由矩阵地运算性质可知已知是对称矩阵,故有,即由此可知也是对称矩阵,证毕2设n阶矩阵A满足,则A为可逆矩阵证明： 因为,即所以,A为可逆矩阵 3设向量组线性无关,令,证明向量组线性无关.证明：设,即因为线性无关,所以 解得k1=0, k2=0, k3=0,从而线性无关 4设随机事件,相互独立,试证：也相互独立证明： 所以也相互独立证毕5设,为随机事件,试证：证明：由事件地关系可知而,故由概率地性质可知
