常微分第一章节课件

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1、,常微分方程,第一章 绪 论,授课教师：胡鹏彦 授课对象：10本科,本章介绍一些常微分方程的例子以及 常微分方程的基本概念和其发展历史.,1 常微分方程模型,1 常微分方程模型,微分方程: 由自变量、未知函数及其导数 构成的关系式. 常微分方程: 自变量只有一个的微分方程.,1 常微分方程模型,例1 RLC电路 包含电阻R、电感L、电容C及电源的电路称 为RLC电路.,基尔霍夫第二定律: 在闭合回路中, 所有支路 上的电压的代数和等于零. 电学知识: 当电流I经过电阻R, 电感L, 以及电,容C的电压降分别为RI,其中Q为电量,与电流的关系为,1 常微分方程模型,(1) RL电路 设R、L及电

2、源电压E为常数, 则当开关合上后 有关系式,即,1 常微分方程模型,两种初值条件: (i) 开关合上的瞬间, 及t 0时, 电路中的电流I 等于0, 即I(0) 0. (ii) 若当t t0时有I I0, 而此时电源突然短路, 即 t 0且保持不变, 则方程(1.1)变为,初值条件为,1 常微分方程模型,(2) RLC电路 设R、L、C是常数, 电源电压e(t)是时间t的函 数. 当开关合上后有关系式,上式两边求导,若电源电压为常数, 则,1 常微分方程模型,例2 数学摆 数学摆是系于一根长为l的线上而质量为m的 质点M, 在重力作用下, 在垂直于地面的平面上沿 圆周运动. 取反时针运动的方向

3、作为计算摆与铅垂线所 成的角 的正方向, 则摆的运动方程为,即,1 常微分方程模型,几种特殊情形 (1) 摆的微小振动: 比较小,(2) 摆在一个粘性介质中做微小振动摆动, 则 沿着摆的运动方向就处在一个与速度v成正比的阻 力, 若阻力系数为, 则,1 常微分方程模型,(3) 若沿着摆的运动方向恒有一个外力F(t) 作用于它, 这种运动称为强迫微小振动, 则,摆的初始状态: 当t 0时, 0,1 常微分方程模型,例5 两生物种群生态模型(Volterra被捕食-捕食模型) 捕食与被捕食物种的数学模型 设t时刻被捕食物种的总数为x(t), 而捕食物种 的总数为y(t). 不存在捕食情形下被捕食物

4、种的增长率为,存在捕食物种是被捕食物种的增长率为,1 常微分方程模型,不存在人类捕食时捕食物种的增长率为,捕食物种的自然减少率同其总数成正比, 增长率 同其总数和被捕食的总数成正比. 于是得到Volterra被捕食-捕食模型,1 常微分方程模型,竞争模型 假设种群甲和乙的数量分别为x, y, 则种群相 互竞争同一资源时的生长情况的模型为,这里a, b, c, d均为正数. 该方程称为两种群竞争模 型. 当系数b, d为负数是, 两种群互相促进、互为 依赖, 这样的方程称为共生模型.,1 常微分方程模型,具有相互关系两种群的生长模型,这里a, b, c, d, e, f 为常数.,1 常微分方程

5、模型,一般的两种群竞争系统模型,这里M(x, y), N(x, y)为相对于x与y的增长率.,1 常微分方程模型,例6 Lorenz方程,该方程被称为混沌现象第一例.,2 基本概念和常微分方程 的发展历史,一、常微分方程基本概念,二、雅可比矩阵与函数相关性,三、常微分方程发展历史,2 概念及历史,一、常微分方程基本概念 1. 微分方程 联系着自变量、未知函数及其导数的关系式 称为微分方程. 自变量的个数只有一个的微分方程 称为常微分方程, 而自变量多于一个的微分方程称 为偏微分方程. 微分方程中出现的未知函数最高导数的阶数 称为微分方程的阶数.,2 概念及历史,例如,都是常微分方程. (1.3

6、4)是二阶常微分方程, 而(1.35) 是一阶常微分方程.,2 概念及历史,而,是偏微分方程, 且都是二阶偏微分方程.,2 概念及历史,一般的n阶常微分方程的形式为,这里,是,的已,知函数, 且一定含有,y是未知函数, x为自变量.,在本教材中把常微分方程简称为“微分方程”, 有时更简称为方程.,2 概念及历史,如果在(1.38)的左端是,其中a1(x), an(x), f (x)是x的已知函数. 不是线性方 程的方程称为非线性微分方程. 例如,的,一次有理整式, 则称(1.38)为n阶线性微分方程. 其 一般形式为,2 概念及历史,2. 微分方程的解 如果函数 y (x)代入方程(1.38)

7、后, 能使之成 为恒等式, 则称函数 y (x)为方程(1.38)的解. 如果关系式(x, y) 0决定的函数 y (x)为方 程(1.38)的解, 则称为方程(1.38)的隐式解. 隐式解 也称为“积分”.,2 概念及历史,含有n个独立的任意常数c1, c2 , , cn的解,称为n阶方程(1.38)的通解. 注 解对常数的独立性是指: 及其直到n 1阶 导数(对于自变量x)关于c1, c2, , cn的雅可比行列 式不为零.,2 概念及历史,如果关系式(x, y, c1, c2 , , cn) 0决定的 函数,为方程(1.38)的通解, 则称为方程(1.38)的隐式通解. 隐式通解也称为“

8、通积分”.,2 概念及历史,为求微分方程一个特定的解而给出的解所 必需满足的条件称为微分方程的定解条件. 常见 定解条件有初值条件和边界条件. n阶微分方程(1.38)的初值条件指以下n个条件:,其中,当,时,条件有时也写为,是给定的n 1个常数. 初始,2 概念及历史,求微分方程满足定解条件的解称为定解问题. 当定解条件为初值条件时, 相应的定解问题称 为初值问题. 满足初值条件的解称为微分方程的特解. 一般地, 特解可以通过初值条件的限制, 从通解 中确定任意常数而得到.,2 概念及历史,微分方程,的通解为,满足初始条件,的特解为,2 概念及历史,微分方程,的通解为,满足初始条件,的特解为

9、,2 概念及历史,3. 积分曲线和方向场 一阶微分方程,的解y (x)表示Oxy平面上的一条曲线, 称为微分 方程的积分曲线. 注 积分曲线上过每一点的切线的斜率为f (x, y) 在该点的值; 而一条曲线上每一点处的切线斜率为 f (x, y)时该曲线为积分曲线.,2 概念及历史,设D为Oxy平面上的区域, f (x, y)在D上有定 义. 用 f (x, y)定义在D上过各点的小线段的斜率方 向, 这样的区域称为方程(1.47)所定义的方向场, 又称为向量场. 注 可以由方向场定义相应的微分方程.,在方向场中方向相同的曲线 f (x, y) k 称为等 倾斜线或等斜线.,2 概念及历史,4

10、. 微分方程组 用两个及两个以上的关系式表示的微分方程 称为微分方程组.,2 概念及历史,高阶微分方程与微分方程组 高阶微分方程或高阶微分方程组可以用一阶 微分方程组表示. n阶微分方程可写成,若取变换,2 概念及历史,则,2 概念及历史,或可写为以下向量形式,其中,2 概念及历史,5. 驻定与非驻定, 动力系统 如果方程组右端不含自变量t,则称为驻定(自治)的, 右端含t的微分方程组(1.49) 称为非驻定(非自治)的. 注 对于非驻定微分方程组, 可以引进新的时 间使之变为驻定方程组.,2 概念及历史,设D为n中的区域, 令t( y)为参数t的yD的 映射(变换), 若满足 (i) 0(

11、y) y(恒同性); (ii) t1t2( y) t1(t2( y) t2(t1( y)(可加性), 则称映射t( y)| t为动力系统. 动力系统有连续 和离散两种类型(对应变量t的类型).,2 概念及历史,注1 驻定微分方程组可定义连续动力系统: 设驻定微分方程组(1.50)过 yD的解为 (t; y), 若令 (t; y) t( y), 则t( y)| t为动力系统, 并 称之为由(1.50)定义的动力系统. 注2 上述动力系统的定义中t取整数时就是离 散动力系统.,2 概念及历史,2 概念及历史,6. 相空间、奇点和轨线 不含自变量, 仅由未知函数组成的空间称为 相空间. 积分曲线在相

12、空间中的投影称为轨线. 对 于驻定微分方程组(1.50), 方程组 f ( y) 0的解 y y * 表示为相空间中的点, 它满足微分方程组, 故称为 平衡解(驻定解, 常数解), 又称为奇点(平衡点).,2 概念及历史,二、雅可比矩阵与函数相关性 1. 雅可比矩阵,雅可比矩阵,2 概念及历史,当m n时, 雅可比矩阵对应的行列式称为雅可比 行列式, 记为,2 概念及历史,2. 函数相关性 设函数 yi fi(x1, x2 , , xn)(i 1, 2, , m)及其一 阶偏导数在某开集D上连续. 如果在D内, f1, f2, , fm中的一个能表成其余函数的函数, 则称它们在 D内函数相关;

13、 如果它们在D内的任何点的邻域内皆 非函数相关, 则称它们在D内函数无关, 或称它们彼 此独立.,何点上的秩皆小于m, 则 f1, f2, , fm函数相关; 如果 秩皆为m, 则 f1, f2, , fm函数无关, 彼此独立. 当m n时, 可用雅可比行列式是否为零代替雅 可比矩阵的秩是否等于m来判断函数组的函数相关 性.,2 概念及历史,如果雅可比矩阵,在D内的任,2 概念及历史,对n阶微分方程的通解 y (x, c1, c2 , , cn),若雅可比行列式,则n个积分,常数是独立的.,2 概念及历史,三、常微分方程的发展历史 常微分方程是伴随着微积分发展起来的, 微积 分是它的母体, 生

14、产生活实践是它的生命源泉. 三百 多年来, 常微分方程诞生于数学与自然科学进行崭 新结合的十六、十七世纪, 成长于生产实践和数学 的发展进程, 表现出强大的生命力和活力, 蕴含着丰 富的数学思想方法. 按照历史年代划分, 常微分方程 的历史发展大体可分为四个阶段:,2 概念及历史,(i) 十八世纪及其以前; (ii) 十九世纪初期和中期; (iii) 十九世纪及二十世纪初期; (iv) 二十世纪中期及以后. 按照研究内容可分为 (i) 常微分方程的经典阶段; (ii) 常微分方程适定性理论阶段; (iii) 常微分方程解析理论阶段; (iv) 常微分方程定性理论阶段.,2 概念及历史,1. 经

15、典阶段: 十八世纪及其以前 该阶段主要研究一些微分方程的求解问题. 十七世纪的微分方程仍然是微积分的一部分. 到十八世纪, 才成为有自己的目标和方法的新的数 学分支. 在寻求微分方程解的过程当中, 最初用初等函 数找解, 之后用一个初等函数的积分找解, 后来又 用无穷级数求解. 然而, 随着对微分方程研究的进 一步深入, 发现很多微分方程求解是很困难的, 有 些甚至是不可能的.,2 概念及历史,对这个阶段微分方程的发展具有重要作用 的数学家有: Galileo: 微分方程的开端性工作 Huygens, Leibniz: 最早明确说到微分方程1693 Bernoulli James, Berno

16、ulli John, Bernoulli Daniel, (John的儿子) Euler, Clairaut, Taylor, Laplace, Lagrange 微分方程的求解,2 概念及历史,2. 适定性理论阶段: 十九世纪初期及中期 该阶段由微分方程的可解性引起, 即人们发现 即便是一些非常简单的微分方程依然不能用积分的 方法对其进行求解, 这就导致通过微分方程本身的 特点来推断其解的性质, 以及寻找各种近似解, 使得 微分方程理论的研究进入一个多样化的发展阶段. 这阶段的理论包括: 解的存在性及唯一性, 延拓 性, 解的整体存在性, 解对初值和参数的连续依赖性 和可微性等.,2 概念及历史,这个阶段具有重要贡献的主要的数学家有: Bernoulli D