《高中数学_第二章 函数 2.4.2 二次函数的性质课件 北师大版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学_第二章 函数 2.4.2 二次函数的性质课件 北师大版必修1（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.2 二次函数的性质,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像及性质,注:ymax,ymin分别表示函数y=f(x)的最大值、最小值.,做一做 已知函数f(x)=x2-2x-3,则 (1)函数f(x)的顶点是 ;它的图像的对称轴是 . (2)函数的递增区间是 ;递减区间是 . (3)当自变量x为 时,函数的图像达到最低点,它的最小值是 . (4)该函数在0,2上的最小值和最大值分别为 . 解析:把已知函数配方得f(x)=(x-1)2-4. (1)f(x)的顶点是(1,-4);对称轴x=1. (2)因为a=10,所以函数图像开口向上,递增区间为1,+),递减区间为(-,1. (3)在x=1时
2、达到最低点,最小值为-4. (4)结合图像可知函数在0,2上的最小值为-4,最大值为-3. 答案:(1)(1,-4) x=1 (2)1,+) (-,1 (3)1 -4 (4)-4,-3,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)所有的二次函数在定义域R上一定有最大值和最小值. ( ) (2)如果二次函数f(x)的图像关于直线x=a对称,则f(x)一定满足关系式f(a+x)=f(a-x). ( ) (3)如果二次函数f(x)满足关系式f(x)=f(2a-x),则说明该二次函数f(x)的对称轴为x=2a. ( ),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探
3、究一二次函数图像的对称性,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练1 如果函数f(x)=x2+bx+1对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x),求f(1),f(2)的值. 解:由题意知,函数图像关于x=2对称,故 =2,得b=-4,所以f(x)=x2-4x+1,f(1)=1-4+1=-2,f(2)=4-8+1=-3.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究二二次函数的单调性 【例2】 导学号91000072已知二次函数f(x)=-x2+kx+k在区间
4、2,4上是单调函数,求实数k的取值范围. 分析:首先求出f(x)的单调区间,要使f(x)在2,4上具有单调性,需使区间2,4为f(x)单调区间的子集,从而建立不等式求解k的取值范围.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练2 已知函数f(x)=-x2+mx+1在区间1,+)上是减少的,求m的取值范围. 解:根据题意画出函数的草图, 由于二次函数f(x)在区间1,+)上是减少的,则其对称轴x= 在点(1,0)的左侧或过该点,所以有 1,解得m2. 所以实数m的取值范围是(-,2.,探究一,探究二,探究
5、三,探究四,易错辨析,探究三二次函数的最值(值域) 【例3】 已知函数f(x)=x2+2ax+2. (1)当a=-1时,求函数f(x)在区间-5,5上的最大值和最小值; (2)用a表示出函数f(x)在区间-5,5上的最值. 分析:将原函数先配方,对于第(2)问还要结合图像进行分类讨论. 解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1, 因为1-5,5,故当x=1时,f(x)取得最小值,f(x)min=f(1)=1; 当x=-5时,f(x)取得最大值,f(x)max=f(-5)=(-5-1)2+1=37.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,(2)函数f(x)=x2+2
6、ax+2=(x+a)2+2-a2的图像开口向上,对称轴为x=-a. 当-a-5,即a5时,函数在区间-5,5上是增函数,所以f(x)max=f(5)=27+10a,f(x)min=f(-5)=27-10a; 当-5-a0,即0a5时,函数图像如图(1)所示,由图像可得f(x)min=f(-a)=2-a2,f(x)max=f(5)=27+10a; 当0-a5,即-5a0时,函数图像如图(2)所示,由图像可得f(x)max=f(-5)=27-10a,f(x)min=f(-a)=2-a2;,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,当-a5,即a-5时,函数在区间-5,5上是减函数,所以f(x)mi
7、n=f(5)=27+10a,f(x)max=f(-5)=27-10a. 综上可得,当a5时,f(x)在区间-5,5上的最大值为27+10a,最小值为27-10a; 当0a5时,f(x)在区间-5,5上的最大值为27+10a,最小值为2-a2; 当-5a0时,f(x)在区间-5,5上的最大值为27-10a,最小值为2-a2; 当a-5时,f(x)在区间-5,5上的最大值为27-10a,最小值为27+10a.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练3 求函数f(x)=x2-4x-4在t,t+1(tR)上
8、的最小值g(t). 解:由f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8,xt,t+1,知对称轴为直线x=2. 当t2t+1,即1t2时,g(t)=f(2)=-8; 当t+12时,f(x)在t,t+1上是增加的, g(t)=f(t)=t2-4t-4.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究四二次函数的实际应用 【例4】 导学号91000073某人定制了一批地砖,每块地砖(如图所示)是边长为1米的正方形ABCD.点E,F分别在边BC和CD上,且CE=CF,CFE,ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成CFE,ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元.问
9、点E在什么位置时,每块地砖所需的材料费用最省? 分析:点E在BC上的位置由CE的长度确定,因此可设CE=x,然后用x将每块地砖所需的材料费用表示出来,最后利用函数的知识求最小值.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:设每块地砖所需的材料费用为W元,CE=x米,则BE=(1-x)米. 由于制成CFE,ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练4 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个内接矩形草坪(阴影部分),若要使草坪面积最大,则x应为 m. 解析:设矩形花园的宽
10、为y m, 矩形花园的面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400. 故当x=20时,矩形花园的面积最大. 答案:20,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,因缩小了参数的范围而致误 典例已知f(x)=x2+ax+3-a,若x-2,2,f(x)0恒成立,求a的取值范围. 错解:结合二次函数f(x)=x2+ax+3-a的图像可知,要使f(x)0在x-2,2上恒成立,则只需=a2-4(3-a)0对任意x-2,2恒成立,而上面错解中误认为f(x)0对任意xR恒成立,因此使所求范围缩小了.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,1
11、2 3 4 5 6,1.已知函数y=-x2-4x+1,当x-3,3时的值域是 ( ) A.(-,5 B.5,+) C.-20,5 D.4,5 解析:因为y=-x2-4x+1=-(x+2)2+5,所以f(x)图像的对称轴为x=-2,开口向下,所以ymax=f(-2)=5,ymin=f(3)=-20,故函数的值域为-20,5. 答案:C,1 2 3 4 5 6,2.若二次函数y=3x2+2(a-1)x+b在区间(-,1上是减少的,则( ) A.a-2 D.a-2 答案:B,1 2 3 4 5 6,3.若f(x)=x2+(a+2)x+3,xa,b的图像关于x=1对称,则b= . 解析:由题意知a+2
12、=-2,即a=-4.由1-a=b-1,得b=6. 答案:6,1 2 3 4 5 6,4.某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y=-3x2+90x,要使利润获得最大值,则产量应为 件. 解析:由于y=-3x2+90x=-3(x-15)2+675,所以当x=15时,y取最大值,即产量为15件时,利润最大. 答案:15,1 2 3 4 5 6,5.已知函数y=f(x)=3x2+2x+1. (1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴; (2)求函数f(x)的最小值;,1 2 3 4 5 6,1 2 3 4 5 6,6.已知函数f(x)=-x(x-a),xa,1. (1)若函数f(x)在区间a,1上是单调函数,求a的取值范围; (2)求f(x)在区间a,1上的最大值g(a).,
