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1、第1页,引言：1. 什么是二阶电路 ? 1) 其变量用二阶微分方程描述的电路； 2) 从结构上看，含有两个独立动态元件的电路。, 3.5 二阶电路分析,对偶关系: 串联并联, UsIs, RG, CL, LC,第2页,二阶线性微分方程的求解,（一般形式）,1.通解yh为齐次方程的解：,解为：,yh决定于特征方程b2s2+b1s+b0=0的根s1和s2.,a)两个不相等实根s1和s2 ，解:,b)两个相等实根s，解: yh =A1est+ A2test,c)两个共轭复根s1,2=j, 解: yh=(A1cost+A2sint)et,d)两个虚根s1,2= j0, 解: yh =A1cos0t+A
2、2sin0t,2.特解yp为：与激励x具有相同形式的函数,当x为直流激励时，,yp=K（常数）,3.A的确定：,由初始条件代入y=yh+yp决定,第3页,通解，齐次解 yh(t) (homoegeneous) 特解 yp (particular) 形式与激励x(t)相同,将yp(t) 代入非齐次微分方程, 求得各系数(K或 K0、K1 ),第4页,1. RLC串联电路:,KVL: uR+ uL+uC=uS,图3-6-1,可用-n构成的复平面中的点表示根s1 , s2,第5页,方程解：uC(t)=uCh + uCp,特解 uCp=K K=US（直流）,A1，A2由初始待定,两共轭复根,第6页,R
3、LC串联电路的固有频率和固有响应(过阻尼),从物理意义上讲： 从初始时刻开始，电容通过电感和电阻放电，其中一部分电能转换为磁能被电感储存，另一部分被电阻消耗；电阻更大(R2 4L/C)，所以能量消耗比能量转换储存更迅速；到 t=tm 时，电流达到最大值，以后磁能不再增加，而是随着电流的衰减而逐渐释放，连同电能一起被电阻消耗掉。因此电容电压单调衰减，形成非振荡放电过程。,第7页,(临界阻尼),电路固有响应仍然是非振荡性的，但如果电阻稍稍减小一点点，以致R2 4L/C，则响应将为振荡性。因此，符合条件R2 = 4L/C时的响应处于临近振荡状态，称为临界阻尼(critically damped) 。
4、,第8页,欠阻尼,无阻尼,第9页,当振幅从A从衰减到0.01A时，可认为振荡终止。,设经历了N个振荡周期，时间为NT后，有e NT 0. 01， NT= ln(100)=4.6，,第10页,无阻尼： uC=A1cos 0t + A2sin 0t,= 0，包络线Ae t 变成 A ，因此振荡信号就变成幅度恒定的等幅振荡。能量在L、C之间无损失地交替转换储存。,特点： 瞬时储能 w(t) = 初始储能 w(0),第11页,例 1 ：已知： RLC 串联电路，R=0 , C=12F, L=3H, uC(0) = -5V, iL(0) = 0，US = 10V, 求： uC(t), t 0,解：,第1
5、2页,+,uR,+,-,uL,+,-,uc,i,例2：图示电路中，电路原先已充电， uc(0- )=6V, R=2.5, L=0.25H, C=0.25F, 求开关闭合后的uc(t)，i(t),uc(0+) = uc(0-)=6V (给定),C,解：开关闭合后，电路的微分方程为,初始条件:,特征方程：LCs2+RCs+1=0, s2+10s+16=0,特征根 s1= -2; s2= -8,通解： uc(t)=A1e-2t+A2e-8t,代入初始值得： A1+A2=6; -2A1-8A2=0,解得：A1=8; A2= -2, uc(t)=8e-2t-2e-8t V;,图3-6-2,(开路),第1
6、3页,2. GCL并联电路分析,二阶微分方程,特征方程 LCs2+GLs+1=0,图3-6-3,特征根,衰减常数,谐振频率,有阻尼自然频率,（对比RLC串联电路 ）,对偶关系: 串联并联, UsIs, RG, CL, LC,LCs2+RCs+1=0,固有频率,或称,临界阻尼条件,第14页,iL(t)的通解iLh与uC(t)的通解uCh形式相同: (Y= iL , uC),即,a) 过阻尼:,对比,即,b) 临界阻尼:,或,(二重根),即,c) 欠阻尼:,或,(共轭复根),即 G = 0,d) 无阻尼:,或 R = 对比,(共轭虚根),A1，A2 根据初始条件Y(0+)和Y(0+)确定.,特解Y
7、p=K ( K= Is , Us),完全解Y=Yh+K,或,对比,对比,R = 0,第15页,a) 过阻尼:,b) 临界阻尼:,c) 欠阻尼:,d) 无阻尼:,根据初始条件:,1) RLC串联: uC(0+), iL(t)=iC(t)=,2) GCL并联: iL(0+), uC(t)=uL(t)=,确定A1，A2.,初始条件:,第16页,例1：开关闭合已久，t=0时开关打开，求uc(t)，iL(t),解法一：t 0，电路的微分方程为,iL(0+)= iL(0-)=7A,初始条件为,特征方程,解得两个共轭复根：s1= -10+j70; s2= -10-j70,其(通)解为： iL(t)=(A1c
8、os70t+A2sin70t) e-10t,代入公式，确定A1=7, 和A2=1，最后得：,(t0),(t0),图3-6-5,diL(t)/dt=(-70A1sin70t+70A2cos70t) e-10t -10(A1cos70t+A2sin70t) e-10t,第17页,例1：开关闭合已久，t=0时开关打开，求uc(t)，iL(t),解法二：,iL(0+)= iL(0-)=7A,初始条件为,为欠阻尼,(通)解 iL(t)=(A1cosnt+A2sinnt) e-t )=(A1cos70t+A2sin70t) e-10t,代入公式，确定A1=7, 和A2=1，最后得：,(t0),(t0),图
9、3-6-5,diL(t)/dt=(-70A1sin70t+70A2cos70t) e-10t -10(A1cos70t+A2sin70t) e-10t,第18页,例3：uc(0-)=0, iL(0-)=0, G=210-3s, C=1F, L=1H, is=1A, 当t=0 时打开开关, 求iL, uc, ic.,解：电路方程为：,特征方程为：,解得：s1=s2=s= -103 （相等的实根）,初始值为：,iL(0+)= iL(0-)=0，,代入得：A1+0= -1; -103A1+A2=0,A1= -1; A2= -103,图3-6-6,选讲,第19页, 3.6 阶跃函数和 冲激函数,激励是
10、任意的情况时，如何求解电路问题？,任意波形的激励信号可由一系列相继延时的阶跃或冲激信号叠加而成。,0,2,3,t,f(t),阶跃信号叠加,冲激信号叠加,取得越小，逼近程度越好,第20页,1.单位阶跃函数 (t) ：,一 阶跃函数及其应用,（一）阶跃函数的定义 (Step Function),2. 延时的单位阶跃函数,第21页,1. 阶跃函数,A(t),A,t,o,(t) =,1 t 0,0 t 0,A(t) =,A t 0,0 t 0,2. 延时阶跃函数,(tt0),1,t,A(tt0),t0,o,A,(t) =,1 t t0,0 t t0,A( t t0) =,A t t0,0 t t0,图
11、3-5-1,图3-5-2,1,(t),第22页,3.反转的单位阶跃函数,O,t,1,(a),O,t,1,(b),(t),(t t0 ),t0,对比单位阶跃函数, 有: (t) + ( t) =1 , (t t0) + (t0 t) =1,第23页,(1) 表示开关，换路：对网络施加电源：,（二）用阶跃函数表示信号波形,第24页,2) 分段常量信号,：阶梯形状波形或矩形脉冲波形,图3-5-9,u(t)=(t)-(t-1),u(t)=(t),u(t)= - (t-1),=,+,可表示为一系列不同延迟的阶跃信号之和,第25页,例 把波形表示为阶跃函数的形式。,解：波形可表示为3个波形的叠加,u(t)
12、 = 3(t 1) 4(t 3) + (t 4),O,t,u (V),1,3,4,3,-1,第26页,(3)表示任意波形的信号 （近似逼近）,0,2,3,t,f(t),第27页,（三） 单位阶跃响应,用单位阶跃信号激励零状态电路所产生的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应 s(t) 或g(t)。,O,t,g(t),(Step Response),对状态变量, 常有 对非状态变量, 根据电路具体分析。,第28页,线性非时变电路满足以下两个特性，对于分段常量信号的激励,可以从计算阶跃响应入手,计算电路的零状态响应。,第29页,电路在阶跃信号作用下的零状态响应。,例如,R, = RC,第30页,图3-
13、5-17,图3-5-17(a),图3-5-17(b),第31页,+,-,+,-,1F,1,u,C,U,S,W,由叠加定理及单位阶跃电压下的零状态响应公式得,2）由图知：,解：,1),例 1 已知uc(0-)=0V, 求uc(t),第32页,另解：,第33页,（四） 电路对分段常量信号w(t) 的完全响应f(t) (计算步骤),1. 计算零输入响应: fZIR(t),2. 计算零状态响应: fZSR(t),(1) 计算单位阶跃响应: 激励 (t) 响应g(t),(2) 写出激励:,(3) 写出零状态响应:,3. 写出完全响应: f(t) = fZIR(t) + fZSR(t),第34页,施加电源
14、法求Roc,解:1.求零输入响应: uCZI(t)=uc(0+)e-t/,选讲,第35页,图3-5-24,2 求零状态响应: 断开C，求解等效电路Uoc,1)单位阶跃电压下的零状态响应,第36页,3)零状态响应uCZS(t),2)激励为,第37页,3. 完全响应为 uc(t)=uCZI+uCZS,第38页,1. 定义,-D/2,D/2,1/D,面积为1,-D/2,D/2,1/D,面积为1,o,o,面积为1,o,t,t,t,单位冲激函数,面积为1,延时单位冲激函数,宽度极窄幅度极高,图3-5-30,图3-5-31,二. 冲激函数,第39页,2、冲激电压和冲激电流,i(t)/A,t,(1),u(t
15、)/V,t,(1),0,0,单位冲激电流,单位冲激电压,由于幅度无穷大，故用面积 (括号内的数字) 表示冲激的强度,对电流冲激，有i(t)=(t)，其积分,具有电荷的量纲，单位冲激电流的冲激强度为1C,对电压冲激，有u(t)=(t)，其积分,具有磁通的量纲，单位冲激电流的冲激强度为1Wb,图3-5-33,图3-5-34,第40页,3、电路状态的跃变,强度为Q库仑的冲激电流作用于电容时，将产生幅度Q/C伏的电压跃变。,强度为韦伯的冲激电压作用于电感时，将产生幅度/L安的电流跃变。,凡电感电流发生跃变，两端必有冲激电压存在。,凡电容电压发生跃变，两端必有冲激电流存在。,第41页,已知 iC(t)波形，求uC(t)波形,例,解： iC(t) (t) 3(t2) 2(t3),第42页,冲激响应：,冲激函数作用于零初始状态的网络所产生的响应,单位冲激响应：单位冲激函数作用于零初始状态的网络所产生的响应，记为h(t)。,只要掌握了单位冲激响应，利用电路的叠加性和延时性即可求出任意激励下电路的响应。,4、 电路的冲激响应,第43页,例：冲激电压作用下, 求uc的单位冲击响应h(t
