《经济应用数学 教学课件 ppt 作者 皮利利第四章一元微积分的应用第八节积分在经济中的其他应用举例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经济应用数学 教学课件 ppt 作者 皮利利第四章一元微积分的应用第八节积分在经济中的其他应用举例（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、*第八节 积分在经济中的其他应用举例,一、消费者剩余,消费者剩余愿意付出的金额实际付出的金额,假设消费者愿意为某商品所付出的价格 p 由需求函数 p D (x)决定，其中 x 为需求量，它是价格的 p 减函数。,如果市场经济中某个消费者对市场价格为 p0的 某商品购买量为 x0，这时他愿意付出的金额为面积 A,目录,而实际付出的金额为矩形面积A0,由定积分的几何意义可以得到,所以有消费者剩余(简记为CS)为,例1 某种品牌的压缩光碟的需求函数为,p 为商品销售时的单价(美元/张)，x 为每星期的需求数量(单位：千张)，如果每张光碟售价为5元，求消费者剩余。,解 当每张光碟售价为 p0 5 元时
2、，由需求函数可求得需求量为x0 10(千张),千美元,由消费者剩余公式有,二、生产者剩余,生产者剩余实际卖出的金额愿意卖出的金额,假设生产者愿意卖出某商品的价格 p 由供给函数 p S (x) 决定，其中 x 为供给量，它是价格 p 的增函数。如果市场经济中某个生产者对市场价格为 p0 的某商品生产量为 x0 ，这时他愿意卖出的金额为 p0x0 ，而实际卖出的金额为曲边梯形的面积 A,由定积分的几何意义可以得到,所以生产者剩余(简记为PS)即为,例2 如果例1中的供给函数为,p 为销售价格，x 为供给量(单位：千张)，如果销售价格为市场均衡价格，求出生产者剩余,解 由需求函数等于供给函数，可求
3、得,市场均衡量为 x010 (千张)，,市场均衡价格为 p05 (元), 11.67(千元),由生产者剩余公式有,1.资金的终值和现值：,现有资金 A 元，若按年利率 r 作连续复利计算，则 t 年末的本利和为 Aert ，称 Aert 为 A 元资金在 t 年末的终值。反之 t 年末想得到 A 元资金，则按年利率 r 作连续复利计算，现在需要投入资金 Ae rt 称为现值。,2.收入率(或支出率)：在 t 时刻收入(或支出)的变化率。,三、投资问题,对于一个企业，其收入和支出是频繁进行，在实际分析过程中，为了计算的方便，我们将它近似看作是连续发生的，因此,设在 0, T 这段时间内收入的变化
4、率为若按年利率为的的连续复利计算，由定积分的思想，得到在 0, T 这段时间内的总收入的现值为,类似地有，在 0, T 这段时间内的总收入的终值为,例3 有一居民准备购买一座现价为300万元的别墅，如果以分期付款的方式，要求每年付款21万元，且20年付清，而银行的贷款年利率为4%，按连续复利计息，问这位购房者是采用一次付款合算还是分期付款合算,解 由已知有,则分期付款的总现金, 289.102 (万元),所以分期付款合算, 300 (万元),例4 某企业将投资800万元生产一种产品，年利率为5%。经测算，该企业在20年内的收入率都为200万元/年， (1)问多少年可以收回投资 (2)求该投资在
5、20年中可得纯利润为多少,解 (1)设要 T 年可以收回投资，由公式可得在0, T 这段时间内的总收入的现值为,(2) 由(1)可知20年内的纯收入为,(万元),所以投资20年中可得纯利润1728.4万元,所以大约四年半能收回投资,由已知有,整理得,四、劳伦斯(M.O.Lorenz)曲线问题：,如果横轴OZ表示人口(按收入由低到高分组)的累计百分比，纵轴OY表示收入的累计百分比。当收入完全平等时，人口累计百分比等于收入累计百分比，劳伦斯曲线为通过原点、倾角为的直线；当收入完全不平等时，极少部分人口占有几乎全部的收入，劳伦斯曲线为折线OZL。一般国家的收入分配既不会是完全平等，也不会是完全不平等
6、，而是在两者之间，即劳伦斯曲线是位于完全平等线与完全不平等线之间的凹曲线(如图所示)，阴影部分的面积是劳伦斯曲线与完全平等线的偏离程度的大小。,如果某一国家在某一时期国民收入分配的劳伦斯曲线近似地由函数表示，则阴影部分的面积为,即 不平等的程度在大小上等于,而最大不平等面积为下三角形面积,(简称为不平等面积),不平等面积与最大不平等面积的比例,表示一个国家国民收入在国民之间分配的不平等程度，在经济学上称其为基尼(Gini)系数，记为 G。即有,显然当 G 0时，是完全平等情形，当G 1时，是完全不平等情况。,例5 通过对某个国家发展情况的研究，发现股票经纪人的收入分配情况可近似用函数描述为,高
7、校教师的收入分配可表示为,求两种职业的基尼系数。判断哪种职业的收入分配情况更合理。,解 设股票经纪人的基尼系数为高校教师的基尼系数为，则,因此,故高校教师的收入分配比股票经纪人的收入分配更合理。,五、在经济应用中的杂例,例6 假设某公司有一种新型轿车发动机，年在某地区的销售份额变化率的百分比是由下式给出,(其中=0对应1989年)。该公司在1989年的销售份额是48.4%，试求该公司在2001年的销售份额。,解 设表示该公司在年的销售份额，则有,由已知有代入上式，可求得，所以有,所以，2001年该公司的销售份额为,即该公司2001年的销售份额为34%。,例7 某外资公司管理层期望今后年其利润增长率为1(10万美元/年)，该公司经营的是连锁酒店。由于酒店不断进行革新及改善和新酒店的开张，该公司今后十年利润的增长率可为(10万美元/年)，假设该公司能按现有增长率进行，那么在今后十年能得到的利润比期望的增加多少？,解 按期望的增长率，10年后的利润为：, 37.85(10万美元), 378.5(万美元),按实际的增长率10年后的利润为：, 47.84(10万美元),所以十年得到的利润比期望增加, 478.4(万美元),478.4 378.5 99.9(万美元),作业 P137 习题4.8 3 4 6,
