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1、新疆乌鲁木齐地区2019届高三第二次质量监测数学(理)试题一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.设集合A=x|x1,B=x|x24,则AB等于A. x|-2x1B. x|1x2C. x|-1x2D. x|x2【答案】A【解析】【分析】对集合B化简,然后求出AB。【详解】解:由B中不等式解得:-2x2,即B=x|-2x2, A=x|x1, AB=x|-2x1, 故选:A【点睛】本题考查了集合交集的运算。2.已知复数z=2-i1+i(i是虚数单位),则复数z的虚部为()A. -32B. -32iC. 12D. 12i【答案】A【解析】【分析】运用复数除法的法则,对复数z进行化简,最后求出
2、复数z的虚部。【详解】解:复数z=2i1+i=(2i)(1i)(1+i)(1i)=13i2=1232i复数的虚部为-32故选:A【点睛】本题考查了复数的除法运算、虚部的概念。3.图象关于原点对称且在定义域内单调递增的函数是A. f(x)=cosx-1B. f(x)=x2+2C. f(x)=-1xD. f(x)=x3【答案】D【解析】【分析】先判断函数是不是奇函数,然后判断是不是定义域内单调递增的函数。【详解】解:根据题意,函数的图象关于原点对称,则该函数为奇函数,据此分析选项:对于A,f(x)=cosx1,为偶函数,不符合题意;对于B,f(x)=x2+2,为偶函数,不符合题意;对于C,f(x)
3、=-1x,是奇函数,但在其定义域中不是单调函数,不符合题意;对于,f(x)=x3,是奇函数即其图象关于原点对称且在定义域内单调递增,符合题意;故选:D4.若实数x,y满足x-4y+303x+5y-250x1,则函数z=2x+y的最大值为A. 12B. 325C. 3D. 15【答案】A【解析】【分析】画出可行域,然后平移直线y=2x+z,找到在y轴截距最大时,直线经过点,代入,求出函数z=2x+y的最大值。【详解】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分)由z=2x+y得y=2x+z,平移直线y=2x+z,由图象可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z在y轴的截距最大,此时z最
4、大由x4y+3=03x+5y25=0,解得x=5y=2,即A(5,2),代入目标函数z=2x+y得z=25+2=12即目标函数z=2x+y的最大值为12故选:A【点睛】本题考查了线性规划问题。数形结合是解决此问题题的关键。5.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”其中“幂”即是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体的体积相等,已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为A. 4-2B. 8-C. 8-43D. 8-2【答案】B【解析】由祖暅原理可知,该不规则几何体的体积与
5、已知三视图几何体体积相等,由三视图知几何体是一个正方体去掉一个半圆柱,如图:正方体的体积为222=8,半圆柱的体积为12122=,从而其体积为8,故选B6.已知实数a=2ln2,b=2+2ln2,c=(ln2)2,则a,b,c的大小关系是A. cabB. cbaC. bacD. acb【答案】A【解析】【分析】先判断ln2的大小范围,然后判断三个数的大小关系。【详解】解:因为0ln21所以12ln22,2+2ln22,0(ln2)21, cab 故选:A【点睛】本题考查了有关对数式的大小比较。7.如图所示算法框图,当输入的x为1时,输出的结果为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】
6、【分析】根据程序框图,利用模拟验算法进行求解即可【详解】当x1时,x1不成立,则yx+11+12,i0+11,y20不成立,x2,x1成立,y2x4,i1+12,y20成立,x4,x1成立,y2x8,i2+13,y20成立,x8,x1成立,y2x16,i3+14,y20成立x16,x1成立,y2x32,i4+15,y20不成立,输出i5,故选:C【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断,利用模拟运算法是解决本题的关键8.已知F1,F2是双曲线x2-y2=1的焦点,以F1F2为直径的圆与一条渐近线交于P,Q两点,则F1PQ的面积为A. 22B. 1C. 2D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意
7、可知PQ是直径,利用点到直线距离公式,可以求出高,这样可以求出三角形面积。【详解】解:F1,F2是双曲线x2-y2=1的焦点,F1 (2,0),以F1F2为直径的圆与一条渐近线交于P,Q两点,|PQ|=2c=22,左焦点到渐近线x=y的距离为:d=22=1,所以则F1PQ的面积为:12221=2故选:C【点睛】本题考查了双曲线的简单性质的应用,三角形面积的求法。9.若关于x的方程(sinx+cosx)2+cos2x=m在区间0,)上有两个根x1,x2,且|x1-x2|4,则实数m的取值范围是A. 0,2)B. 0,2C. 1,2+1D. 1,2+1)【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换,
8、把函数的关系式化成正弦型函数,进一步利用函数的性质求解。【详解】解:关于x的方程(sinx+cosx)2+cos2x=m在区间0,)上有两个根x1,x2,方程即sin2x+cos2x=m1,即sin2x+4=m12,sin2x+4=m12在区间0,)上有两个根x1,x2,且|x1-x2|4 x0,),.2x+434,5474,94,22m1222求得0mb0)的左、右焦点,直线l过F1交椭圆C于A,B两点,交y轴于C点,若满足F1C=32AF1且CF1F2=30,则椭圆的离心率为A. 33B. 36C. 13D. 16【答案】A【解析】【分析】根据椭圆中线段关系,表示出AF1=43c9,F1F
9、2=2c,AF2=2a43c9。由余弦定理即可求得a与c的关系,进而求得离心率。【详解】因为F1是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,直线过F1交y轴于C点所以F1c,0 ,即OF1=c 因为CF1F2=30,所以CF1=23c3又因为F1C=32AF1所以AF1=43c9在三角形AF1F2中,AF1=43c9,F1F2=2c,AF2=2a43c9,根据余弦定理可得cosAF1F2=AF12+F1F22AF222AF1F1F2 ,代入得32=43c92+2c22a43c92243c92c,化简得a=3c 所以离心率为e=ca=33 所以选A【点睛】本题考查了椭圆的基本性质及其综合
10、应用,余弦定理求椭圆斜率的用法,计算量较大,易出错,属于难题。11.已知A,B,C为球O的球面上的三个定点,ABC=60,AC=2,P为球O的球面上的动点,记三棱锥p一ABC的体积为V1,三棱銋O一ABC的体积为V2,若V1V2的最大值为3,则球O的表面积为A. 169B. 649C. 32D. 6【答案】B【解析】【分析】设ABC的外接圆圆心为O,其半径为,球O的半径为R,且|OO|=d,根据体积比求得R=2d,利用球的性质,得R=23r,再由三角形的性质,求得r=23,利用球的表面积公式,即可求解。【详解】由题意,设ABC的外接圆圆心为O,其半径为,球O的半径为R,且|OO|=d依题意可知
11、(V1V2)max=R+dd=3,即R=2d,显然R2=d2+r2,故R=23r,又由2r=ACsinABC=43,故r=23,球O的表面积为4R2=163r2=649,故选B.【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算,以及球的性质的应用,其中解答中根据几何体的结构特征,合理利用求得性质,求得球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力,属于基础题。12.f(x)的定义域是(0,+),其导函数为f(x),若f(x)-f(x)x=1-lnx,且f(e)=e2(其中e是自然对数的底数),则()A. f(2)2f(1)B. 4f(3)0时,f(x)0D. 当x0时,f(x)-ex0【答案】D【解析】【
12、分析】构造函数g(x)=f(x)x,通过已知可以求出g(x)的解析式,结合函数的单调性和极值的定义分别进行判断,找到正确的选项。【详解】解:构造函数g(x)=f(x)x,则g(x)=xf(x)-f(x)x2=1x-lnxx,对其两边积分得g(x)=lnx-12(lnx)2+c,又f(e)=e2得g(e)=f(e)e=e=12+c,所以c=e-12,即g(x)=-12(lnx)2+lnx+e-12,令t=lnx,则二次函数y=-12t2+t+e-12的对称轴为t=1,即x=e,且图象开口向下,g(2)g(1),即f(2)2f(1)1,故f(2)2f(1),所以A项错误;g(3)g(4),所以4f
13、(3)3f(4),故B项错误;根据开口向下的二次函数的图象可知,当x0时,f(x)0不正确,故C项错误;当x0时,要使f(x)-ex0成立,只需f(x)x-e0成立,显然二次函数y=-12t2+t+e-12在对称轴t=1处取得最大值e,很明显f(x)x-e0成立,故D项正确;故选:D【点睛】本题考查了导数的应用,构造函数,对函数求导,求出解析式是本题的关键。二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.在(x2+13x)8的展开式中,常数项为_【答案】7【解析】【分析】写出二项展开式的通项,并化简,让x的指数为零,可求出常数项。【详解】解:二项展开式的通项为Tr+1=C8r(x2)r(13x
14、)8r=(12)rC8rx4r83,4r83=0r=2,展开式的常数项为(12)2C82=7,故答案为:7【点睛】本题考查了利用二项式展开式的通项求常数项。14.若sin(6)=14,则cos(23)的值为_【答案】78【解析】sin(6-)=14sin-6=-14cos2-3=cos2-6=1-2sin2-6=1-2116=7815.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=x+m与曲线y=asinx+bcosx(a,b,mR)相切于点(0,1),则a+bm的值为_【答案】2【解析】【分析】把点(0,1)代入两个方程中,可以求出m=1,b=1,再对y=asinx+bcosx进行求导,把(0,1)代入导函数中