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1、第3讲 圆锥曲线的综合问题,专题四 解析几何,板块三 专题突破核心考点,考情考向分析,1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题. 2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,热点一 范围、最值问题,圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解,解答,(1)求椭圆C的方程；,(2)分别记PAO，PBO的面积为S1，S2，当M，N，B三点共
2、线时，求S1S2的最大值.,解答,解 设点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)， 则M为(x1，y1)， 设直线l的方程为ykxb， 联立椭圆方程可得(4k21)x28kbx4b240，,M，N，B三点共线， kMNkBN，,设A，B两点到直线OP的距离分别为d1，d2.,解决范围问题的常用方法 (1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解. (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解. (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.,跟踪演练1 (2018绍兴市柯桥区模拟)已知抛物线C：y24x
3、的焦点为F，直线l：ykx4(1k2)与y轴、抛物线C相交于点P，A，B(自下而上)，记PAF，PBF的面积分别为S1，S2. (1)求AB中点M到y轴的距离d的取值范围；,解答,得k2x2(8k4)x160， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,解答,热点二 定点、定值问题,1.由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m). 2.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变
4、化，而始终是一个确定的值.,例2 (2018北京)已知抛物线C：y22px经过点P(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N. (1)求直线l的斜率的取值范围；,解答,解 因为抛物线y22px过点(1，2)， 所以2p4，即p2. 故抛物线C的方程为y24x. 由题意知，直线l的斜率存在且不为0. 设直线l的方程为ykx1(k0)，,依题意知(2k4)24k210， 解得k0或0k1.,又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2). 从而k3. 所以直线l的斜率的取值范围是(，3)(3，0)(0，1).,证明,证明 设A(
5、x1，y1)，B(x2，y2)，,(1)动直线过定点问题的两大类型及解法 动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m，0). 动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.,先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值.,(2)求解定值问题的两大途径,跟踪演练2 已知倾斜角为 的直线经过抛物线：y22px(p0)的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，且|AB|8. (1)求抛物线的方程；,解
6、答,令A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x23p， 由抛物线的定义得|AB|x1x2p4p8， p2. 抛物线的方程为y24x.,(2)过点P(12,8)的两条直线l1，l2分别交抛物线于点C，D和E，F，线段CD和EF的中点分别为M，N.如果直线l1与l2的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点.,证明,证明 设直线l1，l2的倾斜角分别为，,直线l1的斜率为k，则ktan . 直线l1与l2的倾斜角互余，,直线CD的方程为y8k(x12)， 即yk(x12)8.,设C(xC，yC)，D(xD，yD)，,显然当x10时，y0，,热点三 探索性问题,1.解析几何中的探索性问题，从类型上
7、看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化.其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在. 2.反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.,(1)求椭圆C的方程；,解答,设椭圆的焦点F1(0，c)， 由F1到直线4x3y120的距离为3，,又a2b2c2，求得a24，b23.,解答,设直线AB的方程为ykx1(k0)，,(8k)24(4k21)12256k2480. 设A(x1，y1)，B(x2，y
8、2)，,假设存在点P(0，t)满足条件，,所以PM平分APB. 所以直线PA与直线PB的倾斜角互补， 所以kPAkPB0.,即x2(y1t)x1(y2t)0. (*) 将y1kx11，y2kx21代入(*)式， 整理得2kx1x2(1t)(x1x2)0，,整理得3kk(1t)0，即k(4t)0， 因为k0，所以t4.,解决探索性问题的注意事项 存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论. (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，
9、采取另外的途径.,(1)求a，b的值，并写出椭圆C的方程；,解答,(2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，在椭圆C上有异于A，B的动点P，若直线PA，PB与直线l：xm(m为常数)分别交于不同的两点M，N，则当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？,解答,设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，,真题押题精练,真题体验,1.(2017全国改编)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为_.,解析,答案,16,解析 因为F为y24x的焦点， 所以F(1,0). 由题意知，直线l1，l
10、2的斜率均存在且不为0， 设l1的斜率为k，,同理可得|DE|4(1k2).,证明,2.(2018浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；,因为PA，PB的中点在抛物线上，,所以y1y22y0， 所以PM垂直于y轴.,解答,押题预测,(1)求C1，C2的方程；,押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查.关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色.,解答,押题依据,解 因为C1，C2的焦点重合，,所以a24. 又a0，所以a2.,抛物线C2的方程为y24x.,(2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M，Q两点，与抛物线分别交于P，N两点，是否存在斜率为k(k0)的直线l，使得 2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.,解答,当lx轴时，|MQ|3，|PN|4，不符合题意， 直线l的斜率存在， 可设直线l的方程为yk(x1)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4).,且144k21440，,
