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1、1,2019/7/12,一、积分的定义,1.有向曲线:,设C为平面上给定的一条光滑(或分段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线.,如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,第三章 复变函数的积分,第一节 复积分的概念极其简单性质,2,2019/7/12,简单闭曲线正向的定义:,简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.,与之相反的方向就是曲线的负方向.,在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点
2、到终点的方向.,分段光滑的简单闭曲线简称为周线.,3,2019/7/12,2.积分的定义:,(,4,2019/7/12,二、积分存在的条件及其计算方法,1. 存在的条件,证,参数增加的方向,正方向为,根据线积分的存在定理,5,2019/7/12,当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,在形式上可以看成是,公式,6,2019/7/12,2. 积分的计算方法,在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.,即,7,2019/7/12,例1,解,直线方程为,这两个积分都与路线C 无关,例2,解,积分路径的参数方程为,8,2019/7/12,例3,解,积分路径的参数方程为
3、,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,一个重要而常用的积分公式,9,2019/7/12,复积分与实变函数的定积分有类似的性质.,绝对不等式,三、复积分的性质,10,2019/7/12,例4,解,根据估值不等式知,11,2019/7/12,一、问题的提出,此时积分与路线无关.,第二节 柯西积分定理,由于不满足柯西黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析.,由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.,12,2019/7/12,二、柯西积分定理,定理中的 C 可以不是简单曲线.,关于定理的说明:,(1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界,(2) 如果曲线
4、 C 是区域 B 的边界,定理仍成立.,13,2019/7/12,例1,解,根据柯西积分定理, 有,例2,证,由柯西积分定理,由柯西积分定理,由上节例4可知,三、典型例题,14,2019/7/12,例3,解,根据柯西积分定理得,15,2019/7/12,(1) 注意定理的条件“单连通域”.,(2) 注意定理的不能反过来用.,应用柯西积分定理应注意什么?,16,2019/7/12,1.问题的提出,根据本章第一节的讨论可知,由此希望将柯西积分定理推广到多连域中.,四、柯西积分定理的推广复合闭路定理,2.闭路变形原理,17,2019/7/12,得,18,2019/7/12,解析函数沿闭曲线的积分,
5、不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,闭路变形原理,说明: 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点.,19,2019/7/12,3. 复合闭路定理,那末,20,2019/7/12,4.典型例题,例1,解,依题意知,根据复合闭路定理,21,2019/7/12,例2,解,圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,22,2019/7/12,例3,解,由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为 不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线 内即可.,23,2019/7/12,例4,解,由上例可知,复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它是
6、本章的难点.,常用结论:,24,2019/7/12,定理一,由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,1. 两个主要定理:,五、原函数与不定积分,25,2019/7/12,定理二,证,利用导数的定义来证.,由于积分与路线无关,26,2019/7/12,由积分的估值性质,此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.,证毕,27,2019/7/12,2. 原函数的定义:,原函数之间的关系:,3. 不定积分的定义:,定理三,(类似于牛顿-莱布尼兹公式),28,2019/7/12,证,根据柯西积分定理,证毕,说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方
7、法去计算.,4.典型例题,例1,解,由牛顿-莱布尼兹公式知,29,2019/7/12,例2,解,(使用了微积分学中的“凑微分”法),例3,解,由牛顿-莱布尼兹公式知,另解,此方法使用了微积分中“分部积分法”,30,2019/7/12,例4,解,利用分部积分法可得,课堂练习,答案,例5,解,31,2019/7/12,例6,解,所以积分与路线无关,由牛顿-莱布尼兹公式知,32,2019/7/12,一、问题的提出,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化,而改变,求这个值。,第三节 柯西积分公式及其推论,33,2019/7/12,二、柯西积分公式,定理,证,此式称为柯西积分公式,34,20
8、19/7/12,证,根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关,所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.,证毕,35,2019/7/12,(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.,(这是解析函数的又一特征),(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式.,(这是研究解析函数的有力工具),(3) 解析函数的平均值定理：一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,则有,柯西积分公式的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函数的重要工具.,36,2019/7/12,三
9、、典型例题,例1,解,由柯西积分公式,37,2019/7/12,例2,解(1),由柯西积分公式,由柯西积分公式,这种解法对吗？为什么？,38,2019/7/12,例3,解,由柯西积分公式,39,2019/7/12,例4,解,由闭路复合定理, 得,40,2019/7/12,例5,解,根据柯西积分公式知,比较两式得,41,2019/7/12,例6,解,被积函数 是多值函数，支点为,f(z)的原函数 仍是多值函数，在代入上、下限时需要考虑对应的单值分支。,0,1,42,2019/7/12,其中积分方向应是顺时针方向.,柯西积分公式对无界区域也是成立的，,五、解析函数的无穷可微性,问题:,(1) 解析
10、函数是否有高阶导数?,(2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同?,回答:,(1) 解析函数有各高阶导数.,(2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同.,解析函数高阶导数的定义是什么?,43,2019/7/12,定理,证,根据导数的定义,从柯西积分公式得,44,2019/7/12,45,2019/7/12,再利用以上方法求极限,从而证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.,依次类推, 利用数学归纳法可证,证毕,46,2019/7/12,高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.,例1,解,47,2019/7/12,由
11、复合闭路定理,48,2019/7/12,例2,解,49,2019/7/12,例3,解,由柯西积分定理得,由柯西积分公式得,50,2019/7/12,例4,解,51,2019/7/12,六、柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理,定理1 (柯西不等式)设 在区域D内解析， 为D内,一点，区域 包含于D，则有,其中,证明：在 上应用高阶导数公式，则有,由柯西不等式，容易得到刘维尔定理。,刘维尔定理:z平面上解析且有界的函数 必为常数,由刘维尔定理，可以证得到代数学基本定理。,52,2019/7/12,代数学基本定理 在z平面上，n次多项式,（ ）至少有一个零点,证(反证法)假设 在z平面上无
12、零点，由于 在平面上解析，,从而 在z平面上也是解析的其次，由于,所以,，于是 ，使得 ， 。,又因为 在 上连续，故 ，使得 ，,从而在z平面上有 ，即 在z平面上解析且有界，,因此根据刘维尔定理， 为常数，故 亦为常数，,这与已知 为多项式矛盾，定理得证,53,2019/7/12,七、摩勒拉(Morera)定理,柯西积分定理说明，只要 在单连通区域D内解析，则对D内任一围线均有 。我们现在证明其逆也是正确的,摩勒拉定理 设函数 在单连通区域D内连续，且对D内任一围线C，有 ，则 在D内解析,证,依题意可知,可由导数的定义证明,因为解析函数的导数仍为解析函数,54,2019/7/12,例6,
13、证,不等式即证.,55,2019/7/12,例7,证,积分值与R无关，故有f(a)=f(b).由a,b的任意性得f(z)为常数.,56,2019/7/12,例8,证,任取一点z=a,取围道C为|z|=R|a|,逆时针方向,由柯西积分公式有,即有,由a的任意性得f(z)为常数.,小结：高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.,57,2019/7/12,高阶导数公式,这一点与实变量函数有本质的区别.,定义,调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.,第四节 解析函数与调和函数的关系,一、调和
14、函数的定义,58,2019/7/12,定理,任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数.,证,二、解析函数与调和函数的关系,根据解析函数高阶导数定理,证毕,59,2019/7/12,三、 共轭调和函数的定义,区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,四、 偏积分法,如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法.,60,2019/7/12,解,得一个解析函数,这个函数可以化为,例1,61,2019/7/12,例2,解,所求解析函数为,62,2019/7/12,五、 不定积分法,不定积分法的实施过程:,将上两式积分, 得,63,2019/7/12,例3,解,根据调和函数的定义可得,所求解析函数为,64,2019/7/12,用不定积分法求解例1中的解析函数 ，其,例4,解,65,2019/7/12,例5,解,用不定积分法求解例2中的解析函数 ,其,66,2019/7/12,例6,解,两边同时求导数,所以上面两式分别相加减可得,注1 任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数.,注2 满足柯西黎曼方程ux= vy, vx= uy,的v称为u的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒.,
