《大学物理课件第五章机械振动》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学物理课件第五章机械振动（91页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第5章 机械振动,振动是一种运动形态，是指物体经过它的平衡位置所作的往复运动。,机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。,广义振动：任一物理量(如电流等)在某一数值附近反复变化。,心脏的搏动、耳膜和声带的振动 声音的产生、传播和接收 桥梁和建筑物在阵风或地震激励下的振动 飞机和船舶在航行中的振动 机床和刀具在加工时的振动 各种动力机械的振动 控制系统中的自激振动,5.1简谐振动,5.2 简谐振动的合成,5.3 阻尼振动 受迫振动 共振,虽然各种振动的具体物理机制可能不同，但是作为振动这种运动的形式，它们却具有共同的特征。本章主要讨论简谐振动和简谐振动的合成，并简要介绍阻尼振动、受迫振动和
2、共振现象。,5.1 简谐振动,简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移 x（或角位移）随时间 t 按余弦（或正弦）规律变化的振动。, 简谐振动的运动学定义,广义：x 可以是位移、电流、场强、温度,简谐运动 最简单、最基本的振动,弹簧振子：弹簧 物体系统,平衡位置：物体所受合外力为零的位置。弹簧处于自然长度,轻弹簧质量忽略不计,物体可看作质点,1. 受力特点,一、简谐振动的基本特征,简谐振子：理想模型,回复力：f 始终指向平衡位置,2. 动力学方程,动力学方程,简谐振动微分方程,其通解为：,简谐振动的运动学方程,2、平衡位置是指合外力为零的位置。,1、物体发生振动的条件：物体受到
3、始终指向平衡位置 的回复力；物体具有惯性。,说明：,3、判断物体是否作简谐振动的依据:,结论：单摆的小角度振动是简谐振动。,当 时,摆球对C点的力矩,微振动的简谐近似单摆,底面积为S的长方体木块m浮于水面，水面下a，用手按下一定位置后释放，证明木块运动为简谐振动。,任意位置x处，合力,证明：,木块平衡时,此合力为回复力,二、简谐振动的运动学描述,其通解为：,简谐振动的动力学方程,振动方程,速度方程,加速度方程,振幅 A:,简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。,频率：,角频率 :,周期T ：,物体完成一次全振动所需时间。,单位时间内振动的次数。,三、简谐振动的特征量,弹簧振子
4、：,固有周期、固有频率、固有角频率,相位：,(1) ( t + ) 是 t 时刻的相位,(2) 是 t =0 时刻的相位 初相,相位的意义:,相位确定了振动的状态,相位每改变 2 振动重复一次,相位在 2 范围内变化,状态不重复.,相位差 ,同相和反相(同频率振动),当 = 2k 两振动步调相同,称同相。,当 = (2k+1) 两振动步调相反 , 称反相。,同相,反相,超前和落后,若 = 2- 1 0 , 则 称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 )。,相位差 小结：,1.当=2k ,k =0,1,2,两振动步调相同,称同相,2.当 = (2k+1) , k = 0,1,2.
5、两振动步调相反,称反相.,2 超前于1 或 1滞后于 2,3.,由初始条件求振幅和初相位,小 结,1、简谐振动,回复力,动力学方程,运动学方程,判断条件,2、简谐振动特征量,振幅 A:,简谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。,频率：,角频率 :,周期T ：,物体完成一次全振动所需时间。,单位时间内振动的次数。,相位：,(1) ( t + ) 是 t 时刻的相位,(2) 是 t =0 时刻的相位，初相,初始条件求振幅和初相位,如图 m = 210-2 kg ,弹簧的静止形变为 l = 9.8cm；t = 0时，x0= 9.8cm， v0= 0, 确定平衡位置： mg=k l 取为原点 令向
6、下有位移 x, 则回复力,例,求,（1）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；,（2）若取 x0=0，v0 0为计时零点,写出振动方 程，并计算振动频率。,解,该振动为简谐振动，则,由初始条件得,由x0=0.098m知,振动方程为：,(2)按题意,t = 0 时 x0 = 0，v0 0,例,已知A=0.12m，T=2s，,一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。当t = 0时，位移为0.06m，且向x轴正方向运动。,求,(1)初相；(2) t = 0.5s时，物体的位置、速度和加速度； (3)在x = - 0.06m处，且向x轴负方向运动。物体从这一状态回到平衡位置的最短时间。,
7、解,（1）设其运动方程为,则速度和加速度分别为,当t=0时，,（2）,当t = 0.5s时,（3）由于三角函数具有周期性，取第一个周期即可。设当物体在0.06m，且向x轴负向方向运动对应的时刻为t1，平衡位置对应的时刻为t2，则,(1)试证明物体m的运动是谐振动； (2)求此振动系统的振动周期； (3)写出振动方程。,轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂一质量为m的物体。弹簧的劲度系数为k，滑轮的转动惯量为J，半径为R。若物体m在其初始位置时弹簧无伸长，然后由静止释放。,(1)若物体m离开初始位置的距离为b时受力平衡，则此时有,以此平衡位置O为坐标原点，竖直向下为x轴正向，当物体m在
8、坐标x处时，由牛顿运动定律和定轴转动定律有,例,求,解,联立式解得,所以，此振动系统的运动是谐振动.,即,(2)由上面的表达式知，此振动系统的角频率,故振动周期为,振动系统的振动方程为,(3)依题意知t0时， ，可求出,简谐振动的描述方法之一,四、简谐振动的旋转矢量表示法,简谐振动的描述方法之二,旋转矢量,四、简谐振动的旋转矢量表示法,旋转矢量A旋转一周，投影点完成一次全振动。,旋转矢量的模A：振幅,旋转矢量A的角速度：角频率,t = 0时，A与x轴的夹角 ：初相位。,旋转矢量A与 x 轴的夹角( t+ )： 相位,周期：,t = 0,t = t,（旋转矢量旋转一周所需的时间）,用旋转矢量图画
9、简谐运动的 图,用旋转矢量反应简谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系,o,反相,同相,讨论：利用旋转矢量讨论相位关系,比 超前,关于对旋转矢量法的理解:,1、旋转矢量本身并不做简谐运动,只是用其投影点的运动来表示谐振动, 各物理量直观。,2、在旋转矢量法中,相位表现为角度,处理方便,但不是角度.相位的物理含义在于可据以描述物体在任一时刻的运动状态。,已知一个振子的振动曲线如图所示,画出矢量图，并求a，b，c，d，e各状态相应的 位相,例,由图可知,求,一物体沿 X 轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。当t = 0时，位移为 0.06m，且向 x 轴正方向运动。,（2）在x = -
10、0.06m处，且向 x 轴负向方向运动时，物体从 这一位置回到平衡位置所需的最短时间,（1）初相；,(1) 根据题义作图如下,解,(2)所转角度MON,已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示.,例,求,振动方程。,解,用旋转矢量法辅助求解:,v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位,由图知,以弹簧振子为例,某一时刻，弹簧振子速度为v，位移为x,五、简谐振动的能量,线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒,（振幅的动力学意义）,动能,势能,情况同动能,机械能,简谐振动系统机械能守恒,（1）E1/4；,（2）E1/2；,（3）2E1；,（4）4E1。,例：一弹簧振子作简谐振动，总能量为E
11、1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为,例：一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的 A）1/4 B）3/4 C）1/16 D）15/16,解：,解,例：质量为0.01kg的物体，以振幅1.0102m作简谐运动，其最大加速度为4.0ms2。求：（1）振动的周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量和动能；（3）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能和势能各占总能量的多少？,(1),，,，,（3）,，,（2）在平衡位置,一、同频率同方向简谐振动的合成,分振动 :,合振动 :,结论：合振动 x 仍是简谐振动,5.
12、2 简谐振动的合成,合振动是简谐振动,其频率仍为,合振动 ：,旋转矢量法处理谐振动的合成,讨论：,若两分振动同相：,合振动加强,若 A1=A2 , 则 A=0,若两分振动反相:,合振动减弱,3）一般情况,两个谐振动分别为 ， 、当 时，合振幅最大；当 时，合振幅最小。,解题思路：,1、合振幅最大，两分振动应同相，故,2、合振幅最小，两分振动应反相，故,两个同方向的简谐振动，其运动方程分别为,，,（1）求它们合成振动的振幅和初相位；,（2）若另有一振动,则3为多少时，x1+x3的振幅最大？又3为多少时，x2+x3的振幅最小？,解：（1）,（2）,二、同方向不同频率谐振动的合成,1. 分振动 :,
13、2. 合振动 :,合振动振幅的周期为:,合振动振幅,合振动一般不再是简谐振动,相对于 的转动角速度：,两矢量同向重合时：,合振动振幅 极大,合振动振幅 极小,两矢量反向重合时：,拍：合振动的振幅时强时弱的现象,旋转矢量法处理,拍频: 合振动强弱变化的频率 =|2-1|,拍的现象：,拍的应用：拍现象可用来测定未知频率或产生音乐节拍。在无线电技术上“差频”和“调制”也是基于拍的原理。,2.当 时：,消去参数 t 得轨迹方程,分振动,三、同频率互相垂直的简谐振动的合成,讨论：,1.当 时：,质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。,3.当 时：,4.当 时：,质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。,相互垂直、频率
14、相同的两列谐振的合振动轨迹有如下规律,(1)一般情况下轨迹为椭圆; (2) 时,退化为直线; (3) 时,为正椭圆,若A1=A2,则退化 为圆. (4) 时,椭圆顺时针方向转; 椭圆逆时针方向转.,当两列相互垂直、频率成整数比关系的简谐振动合成时，合振动的轨迹是闭合的，运动是周期性的，这些图形称为李萨如（J. A. Lissajous 1822-1880 法国）图形。,相互垂直但频率不同的简谐振动的合成,振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。,5.3 阻尼振动 受迫振动 共振,一、 阻尼振动,形成阻尼振动的原因：,振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；,振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。
15、,1. 阻尼振动的微分方程,(以液体中的水平弹簧振子为例),弹性力:,粘滞阻力:,牛顿第二定律：,（固有频率）,（阻尼系数）,（阻尼振动的微分方程）,2. 几种阻尼振动模式,（1）小阻尼,（3）大阻尼,（2）临界阻尼,X,t,O,X,t,O,大阻尼,临界阻尼,与大阻尼相比，临界阻尼一般将更快回到平衡位置 。,二、受迫振动,系统在周期性外力的持续作用下所作的振动称为受迫振动。,牛顿第二定律：,令,则,此方程的解为：,1、受迫振动的微分方程（以弹簧振子为例）,2、方程解的物理意义,开始振动比较复杂,经过一段时间后，受迫振动进入稳定振动状态。,3、稳定的受迫振动,a.说明此时振动方程的位相与初始条件无关,b.说明振幅是驱动力的函数，因此存在极值的问题,稳定受迫振动的频率等于驱动力的频率,稳定受迫振动的振幅A和位相
