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1、5.1 刚体运动的描述,5.2 刚体的转动定理,5.3 刚体定轴转动中的动能定理,5.4 角动量和角动量守恒定律,第三章 刚体的定轴转动,本章将介绍刚体所遵循的力学规律。着重讨论刚体的定轴转动。,刚体是一个理想的力学模型，指各部分的相对位置在运动中（无论有无外力作用）均保持不变（无形变）的物体。,3.1 刚体运动的描述,平动,刚体平动时，连接任意两点的线段总是平行的。,3.1.1 刚体的平动与转动,1. 是否每个质点具有相同轨迹？,2. 是否每个质点具有相同速度和加速度？,3. 是否可看成一个质点。,讨论: 对于刚体的平动,（a） Yes,（b） No,（a） Yes,（b） No,（a） Y
2、es,（b） No,刚体的平动可归结为质点运动,定轴转动,每个质点做圆周运动，圆心在固定转轴上。,1. 是否每个质点具有相同轨迹？,2. 是否每个质点具有相同速度和加速度？,3. 是否可看成一个质点。,讨论:对于刚体的定轴转动,（a） Yes,（b） No,（a） Yes,（b） No,（a） Yes,（b） No,4. 每个质点具有相同角速度和角加速度?,5. 相同时间内，每个质点是否扫 过相同的角度?,（a） Yes,（b） No,（a） Yes,（b） No,非定轴转动,一般运动 = (平动)+(转动),转轴的位置或方向随时间变化,原则:刚体的任何运动都可以看成是平动和定轴转动的合运动。
3、,刚体的运动,转动平面,3.1.2 定轴转动的角量描述,O,2.角位移,1.角位置,4. 角加速度矢量,3.角速度矢量:,P点质元线速度,当减速转动时,角加速度与角速度方向相反;,注意:,当加速转动时,角加速度与角速度方向相同；,注意P点质元线量和角量的关系,平动,转动,位置矢量,角位置,质点平动与刚体定轴转动对比,速度,角速度,加速度,角加速度,匀速直线运动,匀速转动,匀变速直线运动,匀变速转动,3.2 刚体的转动定理,力,质点运动状态的改变,刚体转动状态的改变,开关门窗时，力的大小、方向以及作用点相对于转轴的位置，都会决定转动的效果，将这几个因素结合起来，引入力矩这一概念。,力,矩,刚体绕
4、 O z 轴旋转 , 力 作用在刚体上点 P , 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢 .,对转轴 Z 的力矩,力对定轴的力矩,1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量,其中 对转轴的力 矩为零，故 对转轴的力矩,3.2.1 力 矩,力对点的力矩,大小,指向由右螺旋法则确定,力对定轴力矩的矢量形式,（力对轴的力矩只有两个指向）,单位：米牛顿,力对点的力矩方向如何？,a)在定轴转动问题中，力对转轴的矩等于转动平面内的分力对转轴的力矩。,b)同一个力对不同转轴的矩不一样；,c)通常规定:,说 明：,沿转轴方向,沿转轴反方向,d)内力总是成对，大小相等方向相反
5、，一对内力矩的代数和为零；合内力矩总为零。,例：如图所示, 均匀细杆, 长为L，在平面内以角速度绕端点转动，摩擦系数为 求M摩擦力。,解: 质量线密度:,质量元:,所受摩擦力为:,将刚体划分成很多质点，每个质点随刚体绕轴作半径不同的圆周运动，通过考察质点的运动来找出刚体定轴转动的角加速度与力矩的关系。,如图，研究质元mi，受力为,合外力,内力之和,因为外力平行于转轴的分力不可能影响刚体绕轴的转动，所以只考虑外力在转动平面内垂直于转轴的分力，该分力产生力矩的方向只可能沿着轴的两个方向。,3.2.2 刚体的转动定理,如图，法线方向合力矩为零，切线方向运动有,上式对所有质元求和，得,两边乘以ri,外
6、力合力矩,可提出求 和号外,内力合力矩,可以证明内力产生的力矩和等于零，即,（内力成对出现）,对一定的转轴，量 为恒量，称为刚体对该转轴的转动惯量，用J表示,合外力矩,转动惯量J是刚体转动惯性的量度.,转动定理：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。,说明： 1)合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的； 2)转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是解决刚体定轴转动问题的基本方程。 3）力矩和角加速度均为矢量，力矩方向与角加速度方向相同。,则有,牛顿第二定律,物体所受的合外力等于物体动量的瞬间变化率.,数学描述为：,讨论,对于刚体定轴转动，
7、合外力矩等于？,线量与角量，动量与角动量,质元mi对转轴Z的角动量为：,对组成刚体的所有质元的角动量求和,从以角速度作定轴转动的刚体内取一质元mi，其对原点O的角动量为：,刚体定轴转动的角动量,注意：,转动惯量、角动量都是相对量，都必须指明它们是相对于哪个轴。,转动定理,令,公式两边对时间求一阶导数，则有,即,其中,定轴情况下，可不写下标 z ，记作：,之间的夹角,与牛顿第二定律相比，有：,M 相应F ，,J 相应 m ，, 相应 a 。,转动平面内的力,-刚体的定轴转动定理,J转动惯量:物体转动惯性大小的量度,质元:,3.2.3 转动惯量,决定转动惯量的三因素,3）刚体转轴的位置。 （如细棒
8、绕中心、绕一端）,1）刚体的质量；,2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；,例：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。,解：,分割质量元 dm圆环上各质量元到轴的距离相等，,绕圆环质心轴的转动惯量为,例 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。,解 设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环,例 求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。（1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。 （2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。,解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为：,（2）对于通过棒的中心的轴,3 .平行轴定理,
9、上例中JC表示对刚体质心轴的转动惯量，JA表示对一端轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。,推广上述结论，可得平行轴定理。,刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积。,刚体绕质心轴的转动惯量最小。,应记住的几个常用结果:,（1）细圆环,（3）均匀圆盘、圆柱,（2）均匀细棒,其他见课本表3.2,3.2.4刚体定轴转动定理的应用,解题思路:,（1）选物体 （2）看运动 （3）查受力（注意:画隔离体受力图） （4）列方程（注意:建立坐标）,例1 定滑轮看作匀质圆盘，轴光滑，无相对滑动，桌面水平光滑。已知 m1,m2, m3 ，R.求：两侧绳拉
10、力。,解：选竖直向下为坐标轴正向，垂直纸面向里为转轴正向，对m1,m2，由牛顿定律,对m3,由转动定理,无相对滑动：,解得,例2 如图所示，一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知棒长为l，质量为m，开始时棒处于水平位置。令棒由静止下摆，求：（1）棒在任意位置时的角加速度；（2） 角为300，900时的角速度。,解(1) 选垂直纸面向里为转轴正向,细棒在任意位置时棒上的dr质元所受的对O的重力矩,3.3 定轴转动的动能定理,力的瞬时作用规律：牛顿第二定律,力对时间的积累作用规律：动量定理,力对空间的积累作用规律：动能定理,力矩对时间的积累作用规律：角动量定理,力矩对空间的积累作用
11、规律：转动动能定理,力矩的瞬时作用规律：转动定理,3.3.1 力矩的功,力矩的功,力矩,说明:,力矩的功,1 上式中力矩是指合力矩。,2 对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功的和为零。,3 力矩的瞬时功率:,设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：,例 重力矩的功,当杆到达铅直位置时重力矩所作的功.,L,以杆为研究对象,受力：,mg，FN,重力矩:,思考:若取为角坐标,该如何计算?,3.3.2 转动动能,刚体上质元dm的动能:,r,刚体的转动动能,力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。这种力
12、矩对空间的积累作用的规律是什么呢？,3.3.2 刚体转动动能定理,力矩的功定义式,考虑一个过程，设在力矩作用下，刚体的角位置由,角速度由,此公式称为刚体转动的动能定理,定轴转动刚体的动能定理：合外力矩对转动刚体 所作的功，等于刚体转动动能的增量。,质心的高度:,刚体的重力势能等于质心势能,关于刚体的重力势能,说明1,刚体的机械能守恒,若包含刚体的系统 ，则该系统的机械能守恒E1E2。,说明2,注意：,对于既有刚体转动又有刚体平动的体系，此时，动能包括平动动能和转动动能。,应用转动动能定理解题方法,1.确定研究对象。,2.受力分析，确定作功的力矩。,3.确定始末两态的动能，Ek0、Ek。,4.列
13、方程求解。,例1：一细杆质量为m，长度为l，一端固定在轴上，静止从水平位置摆下，求细杆摆到铅直位置时的角速度。,解：以杆为研究对象，,只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化。,重力矩作功：,始末两态动能：,由动能定理：,法二: 机械能守恒定律；,一 定轴转动的角动量定理积分形式,定轴转动的角动量定理积分形式,3.4 角动量定理、角动量守恒定律,刚体的角动量：,角动量定理微分形式,设 时间内，刚体角速度由,角冲量,注意：1）角冲量又叫冲量矩，故此定理又叫冲量矩定理,2）该定理也适应于绕某一定点转动的刚体和质点：,二 定轴转动的角动量守恒定律,若定轴转动的刚体所受对转轴的合外力矩恒为零，则刚体
14、对该轴的角动量保持不变。,定轴转动的角动量守恒定律,角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.,内力矩不改变系统的角动量.,守 恒条件,若 不变， 不变；若 变， 也变，但 不变.,注意：角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对非刚体也成立。,一般有三种情况：,A：J不变，也不变，保持匀速转动。,B：J发生变化，但J不变，则要发生改变。,花样滑冰与跳水运动员跳水,C：开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一部分朝反方向旋转。,茹可夫斯基凳,直升飞机与角动量守恒,自然界中存在多种守恒定律,动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律,电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等,本章小结,1、刚体定轴转
15、动的描述（角量）,2、转动定律：,（力矩的瞬时作用规律）,本章小结,4、转动角动量定理,3、刚体定轴转动的功和能,（力矩的空间积累作用规律）,（力矩的时间间积累作用规律）,5、刚体的机械能守恒定律,若包含刚体的系统 ，则该系统的机械能守恒,质点运动 刚体定轴转动,力矩的功,动量,牛顿第二定律：,转动定律,转动惯量,角动量,动能定理,动量定理,质量 m,功,角动量,牛顿力学的知识结构,飞轮 30 s 内转过的角度,例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150rmin-1， 因受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6
16、 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .,解,（1）,t = 30 s 时，,飞轮做匀减速运动,1、刚体定轴转动的运动学问题,（2）,t = 6 s 时，,（3）,t = 6 s 时，,刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应选用的规律，最后列方程求解。 第一类：求刚体转动某瞬间的角加速度，一般应用转动定律求解。如质点和刚体组成的系统，对质点列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角量和线量的关联方程，并联立求解。,解题指导,2、刚体定轴转动的动力学问题,第二类：求刚
