《2018版高中数学北师大版必修五学案：第二章 3 解三角形的实际应用举例 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学北师大版必修五学案：第二章 3 解三角形的实际应用举例 （7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养 提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力 知识点一 常用角 思考 试画出“北偏东 60”和“南偏西 45”的示意图 梳理 在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空： (1)方向角 指北或指南方向线与目标方向所成的小于_度的角 (2)仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线_时 叫仰角，目标视线在水平线_时叫俯角(如下图所示) 知识点二 测量方案 思考 如何不登月测量地月距离？ 梳理 测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比
2、如解决不 能到达的实际测量问题这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的设计测量方案 的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度一般来说，基线越长，精 确度越高 类型一 测量不可到达点间的距离 例 1 如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所 在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55 m，BAC51，ACB75.求 A、B 两点 间的距离(精确到 0.1 m) 反思与感悟 解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里 的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 跟踪训练 1
3、要测量对岸两点 A、B 之间的距离，选取相距 km 的 C、D 两点，并测得 3 ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，则 A、B 之间的距离为_km. 类型二 测量高度 例 2 如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 5440，在塔底 C 处测得 A 处的俯角 501.已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m，求出山高 CD(精确到 1 m) 反思与感悟 利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、 提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题 跟踪训练 2 江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮 台
4、顶部测得俯角分别为 45和 30，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距 _ m. 类型三 航海中的测量问题 例 3 如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B，然后 从 B 出发，沿北偏东 32的方向航行 54.0 n mile 后到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发 到达 C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到 0.1，距离精确到 0.01 n mile) 反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后 根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题 跟踪训练 3 甲船在
5、 A 点发现乙船在北偏东 60的 B 处，乙船以每小时 a 海里的速度向北行 驶，已知甲船的速度是每小时a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相 3 遇？ 1一艘海轮从 A 处出发，以 40 n mile/h 的速度沿南偏东 40方向直线航行，30 min 后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔， 其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是( ) A10 n mile B10 n mile 23 C20 n mile D20 n mile 23 2甲、乙两楼相距 20 米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼
6、顶望乙楼顶的俯角为 30，则甲、乙两楼的高分别是_ 3如图所示，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在 A 所在的河岸边选定一 点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105，求 A、B 两点的距离 4为测量某塔的高度，在 A，B 两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度 1在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应 用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 2解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况： (1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之 (2)已知量与未知量涉及两个
7、或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再 逐步在其余的三角形中求出问题的解 答案精析答案精析 问题导学 知识点一 思考 梳理 (1)90 (2)上方 下方 知识点二 思考 可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的 视角，通过解三角形求得地月距离 题型探究 例 1 解 根据正弦定理得， AB sin C AC sin B AB ACsin C sin B ACsin C sin180AC 55sin 75 sin1805175 65.7(m) 55sin 75 sin 54 答 A、B 两点间的距离为 65.7 m. 跟踪训练 1 5 解析 如图，
8、在ACD 中，ACD120，CADADC30， ACCD (km) 3 在BCD 中，BCD45，BDC75，CBD60. BC (km) 3sin 75 sin 60 6 2 2 ABC 中，由余弦定理得 AB2()2 22 cos 75 3 ( 6 2 2 ) 3 6 2 2 325， 33 AB (km) 5 A、B 之间的距离为 km. 5 例 2 解 在ABC 中，BCA90，ABC90，BAC，BAD. 根据正弦定理， BC sin AB sin90 所以 AB. BCsin90 sin BCcos sin 解 RtABD，得 BDABsinBAD. BCcos sin sin 将
9、测量数据代入上式，得 BD 27.3cos 501sin 5440 sin5440501 27.3cos 501sin 5440 sin 439 177.4(m) CDBDBC177.427.3150(m) 答 山的高度约为 150 m. 跟踪训练 2 30 解析 设两条船所在位置分别为 A、B 两点，炮台底部所在位置为 C 点， 在ABC 中， 由题意可知 AC30(m)， 30 tan 303 BC30(m)，C30， 30 tan 45 AB2(30)230223030cos 30900， 33 所以 AB30(m) 例 3 解 在ABC 中，ABC1807532137， 根据余弦定理，
10、 AC AB2BC22ABBCcosABC 67.5254.022 67.5 54.0 cos 137 113.15(n mile) 根据正弦定理， BC sinCAB AC sinABC sinCAB0.325 5， BCsinABC AC 54.0sin 137 113.15 所以CAB19.0，75CAB56.0. 答 此船应该沿北偏东 56.0的方向航行，需要航行 113.15 n mile. 跟踪训练 3 解 如图所示设经过 t 小时两船在 C 点相遇， 则在ABC 中， BCat(海里)， ACat(海里)， 3 B9030120， 由得： BC sinCAB AC sin B s
11、inCAB ， BCsin B AC atsin 120 3at 3 2 3 1 2 0CAB90， CAB30. DAC603030. 甲船应沿着北偏东 30的方向前进，才能最快与乙船相遇 当堂训练 1A 2.20米、米 3 40 3 3 3解 由题意知ABC30， 由正弦定理， AC sinABC AB sinACB 故 AB ACsinACB sinABC 50 2 2 1 2 50(m) 2 4解 在ABT 中， ATB21.418.62.8， ABT9018.6，AB15(m) 根据正弦定理， 15 sin 2.8 AT cos 18.6 AT. 15 cos 18.6 sin 2.8 塔的高度为 ATsin 21.4sin 21.4106.19(m) 15 cos 18.6 sin 2.8
