《2018年江苏高考数学二轮复习教师用书：第2部分 八大难点突破 难点5 复杂数列的通项公式与求和问题 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年江苏高考数学二轮复习教师用书：第2部分 八大难点突破 难点5 复杂数列的通项公式与求和问题 （4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、难点五难点五 复杂数列的通项公式与求和问题复杂数列的通项公式与求和问题 (对应学生用书第 71 页) 数列在高考中占重要地位，应当牢记等差、等比的通项公式，前n项和公式，等差、等比 数列的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒 数等数列求和问题中，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、 非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分 组求和法等数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位相减等转化为等差或 等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档 题 一、数列的通项公式
2、 数列的通项公式在数列中占有重要地位，是数列的基础之一，在高考中，等差数列和等比 数列的通项公式，前n项和公式以及它们的性质是必考内容，一般以填空题的形式出现， 属于低中档题，若数列与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交融，难度 就较大，也是近几年命题的热点 1由数列的递推关系求通项 由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法： (1)an1anf (n)型，采用叠加法 (2)f (n)型，采用叠乘法 an1 an (3)an1panq(p0，p1)型，转化为等比数列解决 2由Sn与an的关系求通项an Sn与an的关系为：anError! 【例 1】 (2017江苏省南京
3、市迎一模模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且满足 Snn2an(nN N*) (1)证明：数列an1为等比数列，并求数列an的通项公式； (2)若bn(2n1)an2n1，数列bn的前n项和为Tn，求满足不等式2 010 的 Tn2 2n1 n的最小值 解 (1)证明：当n1 时，2a1a11，a11. 2anSnn，nN N*，2an1Sn1n1，n2， 两式相减得an2an11，n2，即an12(an11)，n2， 数列an1为以 2 为首项，2 为公比的等比数列， an12n，an2n1，nN N*； (2)bn(2n1)an2n1(2n1)2n， Tn32522(2n1)2n， 2T
4、n322523(2n1)2n1， 两式相减可得Tn3222222322n(2n1)2n1， Tn(2n1)2n12， 2 010 可化为 2n12 010， Tn2 2n1 2101 024,2112 048 满足不等式2 010 的n的最小值为 10. Tn2 2n1 点评 利用anSnSn1求通项时，注意n2 这一前提条件，易忽略验证n1 致误， 当n1 时，a1若适合通项，则n1 的情况应并入n2 时的通项；否则an应利用分段函 数的形式表示 二、数列的求和 常见类型及方法 (1)anknb，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)anaqn1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3
5、)anbncn，数列bn，cn是等比数列或等差数列，采用分组求和法求an的前n项 和； (4)anbncn，数列bn，cn分别是等比数列和等差数列，采用错位相减法求和 【例 2】 (扬州市 2017 届高三上学期期末)已知数列an与bn的前n项和分别为An和Bn，且 对任意nN N*，an1an2(bn1bn)恒成立 (1)若Ann2，b12，求Bn； (2)若对任意nN N*，都有anBn及 成立，求正实数 b2 a1a2 b3 a2a3 b4 a3a4 bn1 anan1 1 3 b1的取值范围； (3)若a12，bn2n，是否存在两个互不相等的整数s，t(1st)，使， ，成等差 A1
6、B1 As Bs At Bt 数列？若存在，求出s，t的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：56394102】 解 (1)因为Ann2，所以anError! 即an2n1， 故bn1bn (an1an)1，所以数列bn是以 2 为首项，1 为公差的等差数列， 1 2 所以Bnn2 n(n1)1n2n. 1 2 1 2 3 2 (2)依题意Bn1Bn2(bn1bn)，即bn12(bn1bn)，即2， bn1 bn 所以数列bn是以b1为首项，2 为公比的等比数列，所以anBnb1b1(2n1)， 12n 12 所以， bn1 anan1 2n b12n12n11 因为 bn1 anan1 b1
7、2n b12n1b12n11 1 b1( 1 2n1 1 2n11) 所以 b2 a1a2 b3 a2a3 b4 a3a4 bn1 anan1 ，所以 恒成立， 1 b1( 1 211 1 2n11) 1 b1( 1 211 1 2n11) 1 3 即b13，所以b13. (1 1 2n11) (3)由an1an2(bn1bn)得：an1an2n1， 所以当n2 时，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1 2n2n1232222n12， 当n1 时，上式也成立， 所以An2n242n，又Bn2n12， 所以2， An Bn 2n242n 2n12 n 2n1 假设存在两
8、个互不相等的整数s，t(1st)，使， ，成等差数列， A1 B1 As Bs At Bt 等价于，成等差数列，即， 1 211 s 2s1 t 2t1 2s 2s1 1 211 t 2t1 即1，因为 11，所以1，即 2s2s1， 2s 2s1 t 2t1 t 2t1 2s 2s1 令h(s)2s2s1(s2，sN N*)，则h(s1)h(s)2s20 所以h(s)递增， 若s3，则h(s)h(3)10，不满足 2s2s1，所以s2， 代入得 2t3t10(t3)， 2s 2s1 1 211 t 2t1 当t3 时，显然不符合要求； 当t4 时，令(t)2t3t1(t4，tN N*)，则同理可证(t)递增，所以(t) (4)30， 所以不符合要求 所以，不存在正整数s，t(1st)，使， ，成等差数列 A1 B1 As Bs At Bt 点评 裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有 规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项从而达到求和的目的要注意的 是裂项相消法的前提是数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前 后相互抵消
