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1、第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.,因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 . 其中最常用的是,期望和方差,一、离散型随机变量的数学期望,概念的引入：,某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？,我们来看这个问题.,若统计100天,例1 某车间对工人的生产情况进行考
2、察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？,32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品;,可以得到这100天中 每天的平均废品数为,这个数能否作为 X的平均值呢？,可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.,n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.,可以得到n天中每天的平均废品数为,(假定小张每天至多出三件废品),一般来说,若统计n天,这是 以频率为权的
3、加权平均,由频率和概率的关系,不难想到，在求废品数X 的平均值时，用概率代替 频率，得平均值为,这是 以概率为权的加权平均,这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X的平均值 .,定义1 设X是离散型随机变量，它的概率分布是: PX=Xk=pk , k=1,2,也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.,数学期望的统计意义,请看演示,要了解数学期望的统计意义，,两点分布 X B(1,p), 0p1 PX=1=p, PX=0=1-p E(X)=1p+0(1-p)=p,常见离散型随机变量的数学期望,二项分布 X B(n,p)， 其中0p1,推导见（板）书，另一简单证明见
4、期望的性质后面例题,泊松分布 X P() 其中0 , 则E(X)= ,二、连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点x0 x1x2 ,则X落在小区间xi, xi+1)的概率是,小区间xi, xi+1),阴影面积 近似为,小区间Xi, Xi+1),由于xi与xi+1很接近, 所以区间xi, xi+1)中的值可以用xi来近似代替.,这正是,的渐近和式.,阴影面积 近似为,该离散型r.v 的数学期望是,由此启发我们引进如下定义.,定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数 为 f (x),如果,有限,定义X的数学期望为,也就是说,连续型随机变量的数学期
5、望是一个绝对收敛的积分.,若XUa,b,即X服从a,b上的均匀分布,则,若X服从,若X服从参数为,由随机变量数学期望的定义，不难计算得：,这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是1.68.,已知某地区成年男子身高X,三、随机变量函数的数学期望,1. 问题的提出：,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？,如何计算随机变量函数的数学期望?,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照
6、期望的定义把Eg(X)计算出来.,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 .,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢？,下面的基本公式指出，答案是肯定的.,类似引入上述E(X)的推理，可得如下的基本公式:,设X是一个随机变量，Y=g(X)，则,当X为离散型时,P(X= xk)=pk ; 当X为连续型时,X的密度函数为f(x).,该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,XN(0 ,1) 求: E(X2),解:,例 3,设:国际市场上对我国某种出
7、口商品的每年需求量是随机变量X(单位: 吨).X服从区间2000,4000上的均匀分布.每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元; 若销售不出,则每吨商品需贮存费1万元.求:应组织多少货源,才能使国家收益最大?,例 4.,设组织货源t吨.显然应要求 2000 t 4000. 国家收益Y(单位:万元)是X的函数Y=g(X). 表达式为:,解,由已知条件,X的概率密度函为,可算得当t=3500时, E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000 达到最大，因此，应组织3500吨货源.,说明,前面我们给出了求g(X)的期望的方法. 实际上定理的结论可以原封不动地推广到两个随机变量函数Z=g(X
8、,Y)的情形.,稍事休息,设二维离散型随机向量(X,Y)的分布律为 pij i=1,2, ; j=1,2, .则:,设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y),则:,设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.,E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.25 +g(2,1)0.5+g(2,2)0.125,解:,例5,=4.25,设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为,求:E(XY),解:, G(X,Y)=XY, X和Y相互独立.,例6,四、数学期望的性质,1. 设C是常数，则E(C)=C;,4. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E
9、(Y);,2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);,3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);,（诸Xi独立时）,注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立,五、数学期望性质的应用,例7 求二项分布的数学期望,若 XB(n,p)，,则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.,现在我们来求X的数学期望 .,可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.,XB(n,p),若设,则 X= X1+X2+Xn,= np,i=1,2，n,因为 PXi =1= p,PXi =0= 1-p,所以 E(X)=,则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.,例8,将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望.,解:,引入随机变量:,则X=X1+X2+XM ,于是,E(X)=E(X1)+E(X2)+ +E(XM).,每个随机变量Xi都服从两点分布,i=1,2,M.,每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, 对第i个盒子,一个球不落入这个盒子内的概 率为(1-1/M).,故N个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n ,即:,小结： 这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：,方差,
