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1、计算方法实验报告书院系名称：计算机学院学生姓名：专业名称：计算机科学与技术班 级：时间：2017年4月23日至2017年6月05日实验一：牛顿插值法一、实验目的（1） 掌握牛顿插值法的基本思路和步骤（2） 培养编程与上机调试能力二、实验内容（1）已知数据点:x=0.017037, 0.146447, 0.370590, 0.629410, 0.853553, 0.982963;y=1.017183, 1.157713, 1.448590, 1.876502, 2.347975, 2.672363;利用关于该数据点的牛顿插值多项式计算出xt中各点所对应的函数值xt=0.155026, 0.293
2、016, 0.431005, 0.568995, 0.706984, 0.844974,并给出牛顿插值多项式中所用的各阶差商dq。要求：编写函数yt,dq=Newtonchz(x,y,t),其中数据点的个数可变.输出的数据要求保留小数点后六位。三、实验原理简述插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化
3、， 这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。 牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=fx0+fx0,x1(x-x0)+fx0,x1,x2(x-x0)(x-x1)+.fx0,.xn(x-x0).(x-xn-1)+Rn(x)。四、实验结果牛顿插值多项式请输入结点个数:6请输入各个结点的数值:X0=0.017037 Y0=1.017183X1=0.146447 Y1=1.157713X2=0.370590 Y2=1.448590X3=0.629410 Y3=1.876502X4=0.853553 y4=2.347975X5=0.982963 Y5=2.6723
4、63请输入所要求函数值的X值，输入0结束: 0.155026 则所求得的近似值是: 1.167688请输入所要求函数值的X值，输入0结束: 0.293016则所求得的近似值是: 1.340464请输入所要求函数值的X值，输入0结束: 0.431005 则所求得的近似值是: 1.538805请输入所要求函数值的X值，输入0结束: 0.568995则所求得的近似值是: 1.766491请输入所要求函数值的X值，输入0结束: 0.706984则所求得的近似值是: 2.027864请输入所要求函数值的X值，输入0结束: 0.844974则所求得的近似值是: 2.327918请输入所要求函数值的X值，输
5、入0结束: 0Press any key to continue五、实验分析（1）计算方法及过程：1.先后输入节点个数n和节点的横纵坐标，插值点的横坐标，最后输入精度e2. 用do-while循环语句得到跳出循环时k的值3.将k值与n-1进行比较，若在达到精度时kn-1,则输出计算结果；若此时k=n-1,则计算失败！（2）我们通常会选择与插值点最接近的节点，可以提高精度；（3）在可以计算出结果的情况下，插值点越多，结果越精确。（4）利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面Nn(x)的各项系数恰好又是各阶差商，而各阶差商可用差商公式来计算。由线性代数
6、知，对任何一个不高n次的多项式P(x)=b0b1xb2x2bnxn (幂基) 也可将其写成P(x)=a0a1(xx0)a2(xx0) (xx1)an(xx0) (xxn-1)其中ai为系数，xi为给定节点，可由求出ai 一般情况下，牛顿插值多项式Nn(x)可写成：Nn(x)= a0a1(xx0)a2(xx0) (xx1)an(xx0) (xxn-1)只需求出系数ai，即可得到插值多项式。实验二：Romberg求积算法一、实验目的 掌握Romberg求积算法的基本原理，理解数值积分的基本思想，学会用计算机语言编写程序实现算法二、实验内容Romberg求积算法:用Romberg求积算法计算积分的近
7、似值,wuch.要求: 编写函数I=Romberg(f,a,b,wuch),其中被积函数f、上下限a,b及误差wuch可变.输出的数据要求与wuch保持一致(缺省值取小数点后六位).三、实验原理简述计算计算这样就构成了Romberg积分的基本步骤，其计算步骤可以表1.1来表示：表1.1 Romberg积分R(1,1)R(2,1)R(2,2)R(3,1)R(3,2)R(3,3)R(4,1)R(4,2)R(4,3)R(4,4)R(5,1)R(5,2)R(5,3)R(5,4)R(5,5)可以证明Romberg方法是数值稳定的。四、实验结果输入积分上限：1输入积分下限：0用算法算出的精确结果是:0.8
8、55624-Process exited with return value 0Press any key to continue . . .五、实验分析（1）龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。 作为一种外推算法, 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。（2）在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。（3）用rombreg算法在一定的精确度内计算比较准确。实验三：解线性方程组的高斯全主元消去法一、实验目的 熟
9、悉线性代数方程组高斯消去法，高斯列主元消去法， 高斯全主元消去法二、实验内容解线性方程组的高斯全主元消去法:要求: 编写函数x=Gaussqzy(A,b),其中系数矩阵A及非齐次项b可变(元素及阶数).输出的数据要求保留小数点后六位.三、实验原理简述将方程组(1)记为(1) = (1)，其中 . 1） 第一步(k = 1). 设，首先计算乘数 . 用1乘方程组(1) 的第一个方程，加到第个( = 2,3, , . )方程上，消去方程组(1) 的从第 2 个方程到第个方程的未知数1，得到与方程组(1) 等价的线性方程组 简记为 , 其中，的元素个数计算公式为 2） 第次消元. 设上述第 1 步，
10、 ，第 k-1 步消元过程计算已经完成，即已计算好与方程组(1) 等价的线性方程组 简记为. 设，计算乘数 . 用乘方程组(3) 的第 个方程加到第 i 个方程，消去从个方程到第个方程的未知数，得到方程组(1) 等价的线性方程组. ,元素的计算公式为 显然中从第 1 行到第 k 行与相同。 3） 继续上述过程，且设，直到完成第 n-1 步消元计算。最后得到与原方程组等价的简单方程组，即 如果是非奇异矩阵（即），且，求解三角形线性方程组(4)，得到求解公式 ， 以上为高斯消去法的基本过程。四、实验结果请输入方程的个数和未知数个数：4请输入方程组（逐个输入方程 i）1 0.333 1.5 -0.3
11、33-2.01 1.45 0.5 2.954.32 -1.95 0 2.085.11 -4 3.33 -1.1135.40.133.77第1次消元结果：x1 + 0.344828x2 + 2.03448x3 + 2.97931x4 = -1.34483-0.0118276x2 + -0.534483x3 + -3.31231x4 = -0.6651725.11x3 + -4x4 = 3.333.43703x4 = 2.27724第2次消元结果：x1 + 0.344828x2 + 2.03448x3 + 2.97931x4 = -1.34483x2 + 2.26391x3 + 1.01604x4
12、 = 0.6731910.401058x3 + -6.11337x4 = 1.92976-3.30029x4 = -0.65721第3次消元结果：x1 + 0.344828x2 + 2.03448x3 + 2.97931x4 = -1.34483x2 + 2.26391x3 + 1.01604x4 = 0.673191x3 + -15.2431x4 = 4.81168-11.0393x4 = 1.78571解方程得：x1 = -4.093134x2 = -4.473527x3 = 2.345969x4 = -0.161759-Process exited with return value 0
13、Press any key to continue . . .五、实验分析主元素消去法是为控制舍入误差而提出的一种算法，在用消去法的消元过程中，若出现，则消去法无法进行，即使但很小，把它作除数，就会导致其他元素量级的巨大增长和舍入误差的扩散，最后使计算结果不可靠。实验四：解线性方程组的SOR迭代法一、实验目的1.熟悉掌握逐次超松值迭代法的基本原理和基本方法。 2.学会用逐次超松弛迭代法解简单的方程组。 3.选取不同的w值（0w2）进行试探性的计算，从中摸索出近似的最佳松弛因子。二、实验内容解线性方程组的SOR迭代法:用SOR迭代法解,其中:,要求: 编写函数(x,k)=Sor(A,b,x(0)
14、,w, wuch),其中系数矩阵A(元素及阶数)、非齐次项b(元素及阶数)、初值x(0)及松弛系数w可变,输出的x为方程的解,k为迭代的次数. 数据输出要求与wuch保持一致(缺省值取小数点后六位).三、实验原理简述超松弛迭代法以及所涉及的主要算法为：Xi(k+1)（1-w）*Xi(k)+w*Xi的共轭的（k+1）次幂。四实验结果迭代结果：-2.65028 -4.01658 -5.60461 -6.84338 -7.95437 -8.85622 -9.58279 -10.1235 -10.4843 -10.6641 -10.6641 -10.4843 -10.1235 -9.58279 -8.85622 -7.95437 -6.84338 -5.60461 -4.01658 -2.650
